סטודנטים יקרים. לפניכם ספר תרגילים בקורס הסקה סטטיסטית. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.

Transcript

1 1 סטודנטים יקרים לפניכם ספר תרגילים בקורס הסקה סטטיסטית. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.O-lie הקורסבאתרכולל פתרונות מלאים לספר התרגילים,וכןאת התיאוריה הרלוונטית לכלנושא ונושא. הקורס כולו מוגש בסרטוניוידאו המלווים בהסברקולי,כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית,שיטתית ופשוטה,ממשכפי שנעשהבשיעור פרטי,לדוגמה לחצו כאן. את הקורס בנה מר ברק קנדל, מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים שונים ובעל ניסיוןעתירבהוראתהמקצוע. אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה, סובלים מלקויות למידה, רוצים להצטייןאופשוט אוהביםללמודבשקטבבית, אנחנומזמיניםאתכם לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין, היכנסו עכשיו לאתר. אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות צוות האתר GooL ש בילך! בּ זה בּוּל. גוּל כתבופתר-ברק קנדל

2 תוכן עניינים פרק 1 - הסקה סטטיסטית - הקדמה... 4 פרק - התפלגות הדגימה...6 פרק 3 - מושגים בסיסיים באמידה...14 פרק 4 - רווחסמךלתוחלת (ממוצע האוכלוסייה)...1 רווחסמךכששונותהאוכלוסייהידועה...1 קביעתגודל מדגם באמידתתוחלתעם שונות אוכלוסייהידועה... 7 רווחסמךלתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) כששונות האוכלוסייה אינהידועה פרק 5 - רווחסמךלפרופורציה קביעתגודל מדגם באמידתפרופורציה...39 פרק 6 - רווח סמך להפרש תוחלות ממדגמים בלתי תלויים...4 כששונויות האוכלוסייה ידועות... 4 כששונויות האוכלוסייה אינן ידועותאךשוות פרק 7 - רווחסמךלתוחלתההפרשבמדגםמזווג...47 פרק 8 - תרגולמסכםברווחיסמך פרק 9 - בדיקתהשערותעלפרמטרים הקדמה...53 טעויות בבדיקת השערות...56 פרק 10 - בדיקתהשערותעלתוחלת (ממוצע)...58 כאשר שונות האוכלוסיה סיכוילטעויותועוצמהכאשר שונות האוכלוסייה ידועה...58 ידועה...63 קביעתגודל מדגם כששונות האוכלוסיה ידועה מובהקותהתוצאה ) p-value ( בבדיקתהשערות על תוחלת עם שונות ידועה בדיקת השערות עלתוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסייהאינהידועה...78 מובהקותהתוצאה ) p-value ( בבדיקתהשערות על תוחלת עם שונות אוכלוסייה לאידועה ניתוחפלטי 87...SPSS הקשרביןרווחסמךלבדיקת השערות על תוחלת...9 פרק 11 - בדיקתהשערותעלפרופורציה התהליך...95 סיכוילטעויותועוצמה קביעתגודל מדגם מובהקות התוצאה...107

3 3 פרק 1 - בדיקתהשערותעלהפרשתוחלותבמדגמיםבלתיתלויים כשהשונויות של האוכלוסייה כששונויות האוכלוסיה לאידועות ניתוח ידועות ומניחים שהן שוות פלטים פרק 13 - בדיקת השערות על תוחלת ההפרשים במדגמים מזווגים (תלויים)...16 בדיקת השערות למדגמים מזווגים...16 מדגמים מזווגים - ניתוחפלטים פרק 14 - הקשרביןרווחסמךלבדיקתהשערותעלהפרשתוחלות פרק 15 - בדיקת השערות - מבחניםפרמטרים בדיקת השערות עלשתישונויות פרק 16 - מבחניחיבריבוע פרק 17 - ניתוח שונות חד כיוונית פרק 18 - מדדיקשר- מדדהקשרהלינארי (פירסון)

4 4 רקע: פרק 1 -הסקה סטטיסטית - הקדמה אוכלוסייה קבוצה שאליה מפנים שאלה מחקרית. למשל, חברת תרופות שמעוניינת לפתח תרופה למחלת הסוכרת מתעניינת באוכלוסיית חולי הסוכרת בעולם. מדגם חלק מתוך האוכלוסייה. למשל, אם נדגום באקראי 10 אנשים מתוך חולי הסוכרת אז זהו מדגם מתוך אוכלוסיית חולי הסוכרת. במקרים רבים אין אפשרות לחקור את כל האוכלוסייה כיוון שאין גישה לכולה, היא גדולה מידי, אנו מוגבלים בזמן ובאמצעים טכניים ולכן מבצעים מדגם במטרה לבצע הסקה סטטיסטית מהמדגם לאוכלוסייה. הדגימה בקורס תהייה דגימה מקרית סיכויי להיכלל במדגם. הכוונה לדגימה שבה לכל תצפית באוכלוסייה יש את אותו סטטיסטי גודל המחושב על המדגם. פרמטר גודל המתאר את האוכלוסייה. הסימונים לפרמטר וסטטיסטי הם שונים למשל: ממוצע סטטיסטי (מדגם) פרמטר (אוכלוסייה) µ P X p פרופורציה (שכיחות יחסית) פרמטר הוא גודל קבוע גם אם אנו לא יודעים אותו סטטיסטי הוא משתנה ממדגם למדגם ולכן יש לו התפלגות הנקראת התפלגות הדגימה. כתבופתר-ברק קנדל

5 5 דוגמה (פתרון בהקלטה): 5% מאזרחי המדינה תומכים בהצעת החוק של חבר כנסת מסוים. הוחלט לדגום 00 אזרחים ומתוכם לבדוק מהו אחוז התומכים בהצעת החוק. א. ב. ג. ד. ה. ו. מי האוכלוסייה? מה המשתנה? מה הפרמטרים? מהו גודל המדגם? מהו הסטטיסטי שמתכננים להוציא מהמדגם? האם הפרמטר או הסטטיסטי הוא משתנה מקרי?

6 6 תרגילים : 1. מתוך כלל הסטודנטים במכללה שסיימו סטטיסטיקה א נדגמו שני סטודנטים. נתון שממוצע הציונים של כלל הסטודנטים היה 78 עם סטיית תקן של 15. א. מי האוכלוסייה? ב. מה המשתנה? ג. מהם הפרמטרים? ד. מהו גודל המדגם?. להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה למשפחה בישוב "העוגן". נגדיר את x להיות מספר המקלטים של משפחה אקראית. מתכננים לדגום מאוכלוסיה זו 4 משפחות ולהתבונן בממוצע מספר מקלטי הטלוויזיה במדגם. מספר המשפחות סך הכול = 1000 N מספר מקלטים א. מיהי האוכלוסייה ומהו המשתנה הנחקר? ב. מהו הסטטיסטי שיילקח מהמדגם ומה סימונו? 3. נתון כי 0% מהשכירים במדינה הם אקדמאיים. נבחרו באקראי 10 שכירים באותה אוכלוסייה ומתכננים לפרסם את מספר האקדמאיים שנדגמו. א. מהי האוכלוסייה? ב. מה המשתנה באוכלוסייה? ג. מהם הפרמטרים? ד. מהו הסטטיסטי? פרק - התפלגות הדגימה התפלגות ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי

7 7 הקדמהכללית : אוכלוסייה קבוצה שאליה מפנים שאלה מחקרית. למשל, חברת תרופות שמעוניינת לפתח תרופה למחלת הסכרת מתעניינת באוכלוסיית חולי הסכרת בעולם. מדגם חלק מתוך האוכלוסייה. למשל, אם נדגום באקראי 10 אנשים מתוך חולי הסכרת אז זהו מדגם מתוך אוכלוסיית חולי הסכרת. הקורס עוסק ביחסי הגומלין בין המדגם לבין האוכלוסייה : במקרים רבים אין אפשרות לחקור את כל האוכלוסייה כיוון שאין גישה לכולה, היא גדולה מידי, אנו מוגבלים בזמן ובאמצעים טכניים ולכן מבצעים מדגם במטרה לבצע הסקה סטטיסטית מהמדגם לאוכלוסייה. הדגימה בקורס תהייה דגימה מקרית סיכויי להיכלל במדגם. הכוונה לדגימה שבה לכל תצפית באוכלוסייה יש את אותו סטטיסטי גודל המחושב על המדגם. פרמטר גודל המתאר את האוכלוסייה. הסימונים לפרמטר וסטטיסטי בקורס הם שונים והדבר מאד משמעותי למשל, ממוצע סטטיסטי (מדגם) פרמטר (אוכלוסייה) µ P X פרופורציה (שכיחות יחסית) p הערה : פרמטר הוא גודל קבוע גם אם אנו לא יודעים אותו סטטיסטי הוא משתנה ממדגם למדגם ולכן נדון בהתפלגות שלו שזה נושא המפגש. כתבופתר-ברק קנדל

8 8 תרגילים : 1. מתוך כלל הסטודנטים במכללה שסיימו סטטיסטיקה א נדגמו שני סטודנטים. נתון שממוצע הציונים של כלל הסטודנטים היה 78 עם סטיית תקן של 15. א. ב. ג. ד. מי האוכלוסייה? מה המשתנה? מהם הפרמטרים? מהו גודל המדגם? 58% מאזרחי המדינה תומך בהצעת החוק של חבר כנסת מסוים. הוחלט לדגום 00. אזרחים ומתוכם לבדוק מהו אחוז התומכים בהצעת החוק. מי האוכלוסייה? ז. מה המשתנה? ח. מה הפרמטרים? ט. מהו גודל המדגם? י. יא. מהו הסטטיסטי שמתכננים להוציא מהמדגם? האם הפרמטר או הסטטיסטי הוא משתנה מקרי? יב.

9 9 ב. x התפלגות ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי ממוצע האוכלוסייה: µ שונות אוכלוסייה: σ סטיית תקן של אוכלוסייה: σ התפלגות ממוצע הדגימה א. תכונותהתפלגות x תכונה : 1 ממוצע כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לממוצע האוכלוסייה. µ = µ תכונה : σ σ = x שונות כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לשונות האוכלוסייה מחולק ב- - תכונה זו נכונה רק במדגם מקרי. יש יחס הפוך בין גודל המדגם לבין שונות ממוצעי המדגם. אם נוציא שורש לשונות נקבל סטיית תקן : ב.דגימה מהתפלגות נורמלית x= x i σ σ σ ( x) = = אם נדגום מתוך אוכלוסייה שהמשתנה בה מתפלג נורמלית עם ממוצע µושונות המדגם גם יתפלג נורמלית: σ x ~ N( µ, ) x µ Z x = σ ג.משפט הגבולהמרכזי σממוצע אם אוכלוסייה מתפלגת כלשהו עם ממוצע µ ושונות σ ממוצע המדגם גם מתפלג נורמלית ), µ. x ~ N( σ אזי עבור מדגם מספיק גדול ) 30 (

10 10 תרגילים : משקל תינוק ביום היוולדו מתפלג נורמאלית עם ממוצע 3400 גרם וסטיית תקן של 400 גרם. א. מה ההסתברות שתינוק אקראי בעת הלידה ישקול פחות מ גרם?.1 נתון שביום מסוים נולדו 4 תינוקות. ב.. ג. ד. מה ההסתברות שהמשקל הממוצע שלהם יעלה על 4 ק"ג? מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התינוקות יהיה מתחת ל-.5 ק"ג? מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התינוקות יהיה רחוק מהתוחלת בלא יותר מ- 50 גרם? הזמן הממוצע שלוקח לאדם להגיע לעבודתו 30 דקות עם שונות של 16 דקות רבועיות. האדם נוסע לעבודה במשך שבוע 5 פעמים. לצורך פתרון הניחו שזמן הנסיעה לעבודה מתפלג נורמאלית. א. ב. ג. מה ההסתברות שבמשך שבוע משך הנסיעה הממוצע יהיה מעל 33 דקות? מהו הזמן שבהסתברות של 90% ממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה פחות ממנו? מה ההסתברות שממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה מרוחק מ- 30 דקות בלפחות דקות?. נפח היין בבקבוק מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 750 סמ"ק וסטיית תקן של 10 סמ"ק. א. בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה בדיוק 755 סמ"ק? ב. בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה יותר מ 755 סמ"ק? ג. בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה לפחות 755 סמ"ק? ד. בקבוקיי היין שבארגז נמזגים לקערה עם קיבולת של שלושה ליטר. מה ההסתברות שהיין יגלוש מהקערה?.3 משתנה מתפלג נורמאלית עם תוחלת א. ב. ג. 80 וסטיית תקן. 4 מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה כאשר גודל המדגם הוא 9? מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה שגודל המדגם הוא 16? הסבר את ההבדל בתשובות של שני הסעיפים?.4

11 11 לפי הערכות הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה השכר הממוצע במשק הוא 8000 עם סטיית תקן של מה ההסתברות שבמדגם מקרי של 100 עובדים השכר הממוצע יהיה יותר מ-? אורך צינור שמפעל מייצר הינו עם ממוצע של 70 ס"מ וסטיית תקן של 10 ס"מ א. נלקחו באקראי 100 מוטות, מה ההסתברות שממוצע אורך המוטות יהיה בין 68 ל 78 ס"מ? ב. יש לחבר בניינים באמצעות מוטות. המרחק בין שני הבניינים הינו 700 ס"מ. מה ההסתברות ש 100 המוטות יספיקו למלאכה? ג. מה צריך להיות גודל המדגם המינימאלי, כדי שבהסתברות של 5% ממוצע המדגם יהיה קטן מ- 69 ס"מ. העזר במשפט הגבול המרכזי..6

12 1 פתרונות: שאלה 1 שאלה µ = 3.5 X א. σ ( X ) = x P(x) σ = 0.973σ = σ = X µ= µ = X.05 ב. ג. σ ( X ) = שאלה 3 שאלה א א. 3.9 ב ב ג. 0 ג. ד שאלה 5 שאלה א. 0 א ב ב. ג ד. 0.5

13 13 שאלה 7 שאלה א X P(x) ב. התוחלת:.5 השונות: ג. התוחלת:.5 השונות: ד שאלה 10 שאלה א. ב. ג

14 14 רקע: פרק 3 -מושגים בסיסייםבאמידה כזכור מהמפגש הקודם פרמטר הוא גודל המתאר את האוכלוסייה או התפלגות מסוימת. כמו ממוצע הגבהים בקרב מתגייסים לצה"ל- µ. כמו פרופורציית התומכים בממשלה בקרב אזרחי המדינה -p. בדרך כלל הפרמטרים הם גדלים שאינם ידועים באמת, ולכן מבצעים מדגמים במטרה לאמוד אותם. אין אפשרות לחשב אותם הניסיון הוא בלהעריך כמה הם שווים ככל שניתן. נסמן באופן כללי פרמטר באות θואומד ב- ˆθ. ובאמצעותו נאמוד את θ. ˆθ הוא סטטיסטי המחושב על המדגם שגיאת אמידה: ˆ θ θ - ההפרש בין האומד לאמת(הפרמטר). דוגמה: (פתרון בהקלטה) בכנסת ה- 19 קיבלה מפלגת העבודה 15 מנדטים. בערוץ 10 ברגע סגירת הקלפיות העריכו את מספר המנדטים של המפלגה להיות 17 מנדטים וזאת על סמך תוצאות מדגם של הערוץ. מה הפרמטר בדוגמה זו? מהי טעות האמידה של ערוץ 10? )E ˆ θ ) = θ : θ תהיה שווה ל ˆθ התוחלת של יהיה אומד חסר הטיה לθאם ˆθ טעות התקן של אומד היא סטיית התקן שלו, כלומר : σ ( ˆ θ ) = S. E

15 15 להלן פרמטרים מרכזיים והאומדים שלהם: ממוצע האוכלוסייה: µ x x = האומד הנקודתי שלו יהיה : ממוצע המדגם לכן. µ הינו אומר חסר הטיה ל x E(x) = µ σ σ ( x) = = SE כמו כן טעות תקן: פרופורציה באוכלוסייה: p p= ˆ y האומד הנקודתי שלו יהיה: פרופורציה במדגם:. p לכן ˆp הינו אומר חסר הטיה ל E ( pˆ ) = p σ ( Pˆ ) = p (1 p) כמו כן טעות התקן: שונות האוכלוסייה: σ ( x ) i x S = 1 האומד הנקודתי שלו יהיה : ולכן σ. הינו אומד חסר הטיה ל S E( S ) = σ ( x ) i x x x S = = 1 1 i הערה: אומד הוא הנוסחה הכללית לאמידת הפרמטר ואומדן הוא הערך הספציפי שהתקבל במדגם מסוים.

16 16 דוגמה:( פתרוןבהקלטה) נדגמו 10 משפחות בתל אביב ונבדק עבור כל משפחה מספר הילדים שלה. להלן התוצאות שהתקבלו:,1,3,,1,4,5,,1,3 אמדו באמצעות אומדים חסרי הטיה את הפרמטרים הבאים: ממוצע מספר הילדים למשפחה בתל אביב. שונות מספר הילדים למשפחה בתל אביב פרופורציית המשפחות בנות שני ילדים.

17 17 תרגילים: 1. מתוך 500 טירונים נמצאו 10 בעלי שברי הליכה. נתון שהסיכוי שטירון יהיה עם שבר הליכה הוא 0.5. א. מהי האוכלוסייה המוצגת בשאלה? מהם הפרמטרים שלה? ב. מהי טעות התקן של האומד כשהמדגם בגודל 500? ג. מהו האומדן לפרמטר? ד. מהי טעות האמידה?. לפי נתוני היצרן מקרר צורך בממוצע 400 וואט לשעה עם סטיית תקן של 500 וואט לשעה. במדגם של 5 מקררים של היצרן התקבל ממוצע של 34 וואט לשעה. א.מהי האוכלוסייה המוצגת בשאלה? מהם הפרמטרים שלה? ב.מהי טעות התקן של האומד? ג. מהו האומדן לפרמטר? ד. מהי טעות האמידה? 3. נדגמו עשרה מתגייסים לצה"ל. גובהם נמדד בס"מ. להלן התוצאות שהתקבלו: 177 ו- 175.,168,187,177,180,171,19,184,168 א. ב. ג. מצא אומדן חסר הטיה לגובה הממוצע של מתגייסי צה"ל. מצא אומדן חסר הטיה לשונות הגבהים של מתגייסי צה"ל. מצא אומדן חסר הטיה לפרופורציות המתגייסים בגובה של לפחות 180 ס"מ.. 0 i = 1 X i 0 i = 1 i 4. נדגמו 0 שכירים באקראי. עבור כל שכיר נמדד השכר באלפי שקלים. להלן התוצאות שהתקבלו: = 150. X = 16 א. אמדו את השכר הממוצע של השכירים במשק. ב. אמדו את סטיית התקן של שכר השכירים במשק.

18 18 5. במטרה לאמוד את ממוצע האוכלוסייה. דגמו תצפיות בלתי תלויות מהאוכלוסייה וחישבו את הממוצע שלהם. מהי טעות התקן? א. סטיית התקן של האוכלוסייה. ב. סטיית התקן של ממוצע האוכלוסייה. ג. סטיית התקן של המדגם. ד. סטיית התקן של ממוצע המדגם. א משקל הממוצע של אוכלוסייה מסוימת הוא 75 ק"ג עם שונות של. 5 אם יבחרו כל המדגמים האפשריים בגודל 10 מאוכלוסייה זו סטיית התקן של ממוצעי המדגמים תהייה: ב..5 ג ד.אין מספיק נתונים לדעת. במדגם מקרי, מתי סכום ריבועי הסטיות מהממוצע, א. כאשר קטן. ב. כאשר תצפיות המדגם אינן בלתי תלויות. ג. כאשר האוכלוסייה אינה מתפלגת נורמאלית., מחולק ב- ד. כאשר מעוניינים באומד חסר הטיה לשונות האוכלוסייה ממנה הוצא המדגם. ה. כאשר מעוניינים לחשב את שונות התפלגות הדגימה של ממוצע המדגם.? 1 i= 1 (x x) i.7 X1, X,......, X16 מדגם מקרי מתוך אוכלוסייה בעלת ממוצע µ לא ידוע ושונות.8 = 64. σ טעות התקן של האומד ל- µ היא: א. 16 ב. 8 ג. 4 ד.

19 19 9. מהו אומד חסר הטיה? אומד שערכו שווה לממוצע התפלגות הדגימה שלו. א. אומד שערכו שווה לערך הפרמטר באוכלוסייה. ב. אומד שממוצע התפלגות הדגימה שלו שווה לערך הפרמטר באוכלוסייה. ג. אומד שהסיכוי שערכו יהיה גבוה מערך הפרמטר באוכלוסייה שווה לסיכוי שיהיה ד. נמוך ממנו.

20 0 פתרונות: שאלה 3 א ב ג. 0.4 שאלה 4 א. 8.1 ב שאלה 5 התשובה היא ד. שאלה 6 התשובה היא ג. שאלה 7 התשובה היא ד. שאלה 8 התשובה היא ד. שאלה 9 התשובה היא ג.

21 1 רקע: פרק 4 -רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) רווח סמך כששונות האוכלוסייה ידועה ממוצע המדגם הוא אומד לממוצע האוכלוסייה, אך לא באמת ניתן להבין ממנו על גודלו של ממוצע האוכלוסייה. ההסתברות שממוצע המדגם יהיה בדיוק כמו הממוצע האמתי הוא אפסי. מה שנהוג לעשות כדי לאמוד את ממוצע האוכלוסייה זה לבנות רווח סמך. נבנה מרווח בטחון שהסיכוי שהפרמטר µ ייכלל בתוכו הוא α-1. α-1 : נקרא רמת בטחון או רמת סמך. כך ש: P( A µ B) = 1 α A- גבול התחתון של רווח הסמך B- הגבול העליון של רווח הסמך L= B A - אורך רווח הסמך דוגמה : (פתרון בהקלטה) חוקר דגם 5 חיילים שנבחנו במבחן הפסיכומטרי. הוא בנה רווח סמך לממוצע הציונים במבחן הפסיכומטרי בקרב אוכלוסיית החיילים וקיבל בין 510 ל רווח הסמך נבנה ברמת סמך של.95% מהי אוכלוסיית המחקר? מה המשתנה באוכלוסייה? מה הפרמטר שהחוקר רצה לאמוד? מהו רווח הסמך? מה אורך רווח הסמך? מהי רמת הביטחון של רווח הסמך?

22 בפרק זה נרצה לבנות רווח סמך לתוחלת ) µ ( במקרה ש σ (שונות האוכלוסייה) ידועה µ הפרמטר שנרצה לאמוד: האומד נקודתי: x 1 התנאים לבניית רווח הסמך: או 30 X ~ N σ (שונות האוכלוסייה) ידועה הנוסחה לרווח הסמך: σ x± Z α 1 דוגמה : (פתרון בהקלטה ( על פי נתוני היצרן אורך חיי סוללה מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של 1 שעה. מעוניינים לאמוד את תוחלת חיי סוללה. נדגמו באקראי 4 סוללות, אורך החיים הממוצע שהתקבל הוא 13.5 שעות. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לתוחלת אורך חיי סוללה.

23 3 שגיאת האמידה המקסימלית: σ ε = Z α 1 ε -נותן את שגיאת האמידה המקסימלית, דבר שנקרא גם טעות סטטיסטית, טעות דגימה. דוגמה : (פתרון בהקלטה ( בהמשך לשאלה עם הסוללות. מה ניתן להגיד בביטחון של 95% על שגיאת האמידה? קשרים מתמטיים ברווח הסמך:. L= ε אורך רווח הסמך הוא פעמיים שגיאת האמידה המקסימלית : X A+ B ממוצע המדגם נופל תמיד באמצע רווח הסמך: = ככל שמספר התצפיות () גבוה יותר, כך יש יותר אינפורמציה ולכן האומד יותר מדויק, ולכן נקבל רווח סמך יותר קצר. ככל שרמת הביטחון (1 α ) גבוהה יותר כך z 1 α יותר גבוה, ורווח הסמך יותר ארוך.

24 4 תרגילים : חוקר התעניין לאמוד את השכר הממוצע במשק. על סמך מדגם הוא קבע שבביטחון של -95% כי השכר הממוצע במשק נע בין 900 ל א. מי האוכלוסייה במחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? ג. מה הפרמטר שאותו רוצים לאמוד? ד. מה רווח הסמך לפרמטר? ה. מהי רמת הסמך לפרמטר? ו. מה אורך רווח הסמך? ז. מה הסיכוי שטעות הדגימה תעלה על? מעוניינים לאמוד את התפוקה היומית הממוצעת של מפעל מסוים ברמת סמך של 95%. במדגם אקראי של 100 ימים התקבלה תפוקה ממוצעת 4950 מוצרים ביום. לצורך פתרון הנח שסטיית התקן האמתית ידועה ושווה 150 מוצרים ביום. בנה את רווח הסמך.. מעוניינים לאמוד את ממוצע אורך החיים של מכשיר. מנתוני היצרן ידוע שאורך החיים מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של 0 שעות. נדגמו 5 מכשירים ונמצא כי ממוצע אורך החיים שלהם היה 30 שעות. א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 90% לאורך החיים הממוצע של מכשיר. ב. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לאורך החיים הממוצע של מכשיר. ג. הסבר כיצד ומדוע השתנה רווח הסמך..3 דגמו 00 עובדים מהמשק הישראלי. השכר הממוצע שלהם היה נניח שסטיית התקן של השכר במשק היא א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95 % לתוחלת השכר במשק. ב. מה ניתן לומר בביטחון של 95% על הסטייה המרבית בין ממוצע המדגם לתוחלת השכר? ג. מה היה צריך להיות גודל המדגם אם הינו רוצים להקטין את רווח הסמך ב 50%? ד. אם היינו מגדילים את גודל המדגם ובונים רווח סמך באותה רמת סמך האם היה ניתן לטעון בביטחון רב יותר שרווח הסמך מכיל את הפרמטר? בנו רווח סמך לממוצע הציונים של מבחן אינטליגנציה. ידוע שסטיית התקן היא 15 והמדגם מתבסס על 100 תצפיות. רווח הסמך שהתקבל הוא (99,105). שחזרו את : א. ממוצע המדגם. ב. ג. שגיאת האמידה המקסימאלית. רמת הסמך..4.5

25 5 זמן החלמה מאנגינה מתפלג עם סטיית תקן של יומיים. חברת תרופות מעוניינת לחקור אנטיביוטיקה חדשה שהיא פיתחה. במחקר השתתפו 60 אנשים שחלו באנגינה וקיבלו את האנטיביוטיקה החדשה. בממוצע הם החלימו לאחר 4 ימים. א. בנו רווח סמך לתוחלת זמן ההחלמה תחת האנטיביוטיקה החדשה ברמת סמך של.90% ב. מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היה תקציב להגדלת גודל המדגם פי 4? הסבירו. ג. מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היינו בונים את רווח הסמך ברמת סמך גדולה יותר? הסבירו..6 חוקר בנה רווח סמך לממוצע וקיבל את רווח הסמך הבא:. 8 <µ < 9 נתון שסטיית התקן בהתפלגות שווה ל- 10 ושהמדגם מתבסס על 16 תצפיות. התפלגות המשתנה היא נורמאלית. א. מהו ממוצע המדגם? ב. מהי רמת הסמך של רווח הסמך שנבנה? ג. מה הסיכוי ששגיאת האמידה באמידת ממוצע האוכלוסייה תעלה על? 5.7 חוקר בנה רווח סמך לתוחלת כאשר השונות בהתפלגות ידועה ברמת סמך של 95%. אם החוקר כעת יבנה על סמך אותם נתונים רווח סמך ברמת סמך קטנה מ- 95%, מי מהמשפטים הבאים אינו יהיה נכון. א. אורך רווח הסמך החדש יהיה קטן יותר. ב. גודל המדגם יהיה כעת קטן יותר. ג. המרחק בין ממוצע המדגם לקצות רווח הסמך יהיו קטנים יותר ברווח הסמך החדש. ד. רמת הביטחון לבנות רווח הסמך החדש תהיה קטנה יותר..8 חוקר בנה רווח סמך ל- µוקיבל < 54 µ >48 מה נכון בהכרח: א. 51 = µ ב. 6 = X ג. = 51 X ד. אורך רווח הסמך הינו 3..9 איזה מהגורמים הבאים אינו משפיע על גודלו של רווח בר סמך, כאשר שונות האוכלוסייה ידועה? (בחר בתשובה הנכונה) א.רמת הביטחון. ב. ג. סטיית התקן באוכלוסייה. מספר המשתתפים. ד. סטיית התקן במדגם..10

26 6 פתרונות : שאלה < < µ שאלה 3 א. ב. 3.4< µ <36.58 < < µ שאלה 5 א. 10 ב. 3 ג שאלה 6 4.4> א. 3.58< µ ב. יקטן פי ג. גדל שאלה 7 א. 87 ב. 5 ג שאלה 8 א <µ <5 ב. שאלה 9 התשובה היא : ב שאלה 10 התשובה היא : ג

27 7 רקע: קביעת גודל מדגם באמידת תוחלת עם שונות אוכלוסייה ידועה אם מעוניינים לאמוד את ממוצע האוכלוסייה כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה: σ ברמת סמך של α 1 ושגיאת אמידה שלא תעלה על ε מסוים, נציב בנוסחה הבאה: z ε α σ 1 כדי להציב בנוסחה צריך שהמשתנה הנחקר יתפלג נורמלית או שהמדגם ייצא בגודל של לפחות 30 תצפיות. דוגמה: (פתרון בהקלטה ( חברת תעופה מעוניינת לאמוד את תוחלת משקל המטען של נוסע. נניח שמשקל מטען של נוסע מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של ק"ג. כמה נוסעים יש לדגום אם מעוניינים שבביטחון של 98% הסטייה המרבית בין ממוצע המדגם לממוצע האמתי לא יעלה על 0.5 ק"ג? ) תשובה 87: (

28 8 תרגילים: 1. משתנה מקרי מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן ידועה 1. מה צריך להיות גודל המדגם כדי לבנות רווח סמך ברמת סמך של 98% שאורכו לא יעלה על?. שגיאת כיצד מעוניינים לאמוד את הדופק הממוצע של מתגייסים לצבא. מעוניינים שבביטחון של 95% האמידה המרבית תהיה 0.5. נניח שהדופק מתפלג נורמאלית על סטיית תקן של א. כמה מתגייסים יש לדגום? 3 פעימות לדקה. ב. אם ניקח מדגם הגדול פי 4 מהמדגם של סעיף א ונאמוד את הממוצע באותה רמת סמך הדבר ישפיע על שגיאת האמידה? יהי X משתנה מקרי עם ממוצע μ ברמת ביטחון של וסטיית תקן. σ חוקר רוצה לבנות רווח בר סמך ל μ 0.95 כך שהאורך של הרווח יהיה. 0.5σ מהו גודל המדגם הנדרש?.3

29 9 פתרונות : שאלה שאלה א. 139 ב. הדבר יקטין את εפי. שאלה 3 = 6

30 30 רווח סמך לתוחלת (ממוצע האוכלוסייה) כששונות האוכלוסייה אינה ידועה רקע: בבואנו לבנות רווח סמך לתוחלת אנו צריכים להתמקד בשני המצבים הבאים: רווח סמך לתוחלת: שונות האוכלוסייה ידועה שונות האוכלוסייה אינה ידועה בפרק זה נעסוק במקרה ששונות האוכלוסייה אינה ידועה לנו.מקרה יותר פרקטי. X התנאי: ~ N או שהמדגם גדול X ( 1 ) Sˆ ± tα רווח סמך: ( ) X X X i i X ˆ i= 1 i= 1 S = = 1 1 האומד לשונות : התפלגות T: הינה התפלגות סימטרית פעמונית שהתוחלת שלה היא 0. ההתפלגות דומה להתפלגות Z רק שהיא יותר רחבה ולכן הערכים שלה יהיו יותר גבוהים. התפלגות T תלויה במושג שנקרא דרגות חופש. דרגות החופש הן.df=-1 ככל שדרגות החופש עולות ההתפלגות הופכת להיות יותר גבוהה וצרה. כשדרגות החופש שואפות לאינסוף התפלגות T שואפת להיות כמו התפלגות Z. כתבופתר-ברק קנדל

31 31 דוגמה : (פתרון בהקלטה) הזמן שלוקח לפתור שאלה מסוימת בחשבון מתפלג אצל תלמידי כיתות ח' נורמאלית. במטרה לאמוד את תוחלת זמן הפתרון נדגמו 4 תלמידים בכיתה ח'. להלן התוצאות שהתקבלו בדקות: 4.7,5.,4.6,5.3. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לממוצע זמן הפתרון לשאלה בקרב תלמידי כיתה ח'. פתרון : < < µ

32 3 תרגילים: מחקר מעוניין לדעת כיצד תרופה מסוימת משפיעה על קצב פעימות הלב. ל- 5 אנשים שנטלו את התרופה מדדו את הדופק והתקבל מספר פעימות לדקה: , 84, 88, 84, הערה: לצורך פתרון הנח שקצב פעימות הלב מתפלג נורמאלית בקירוב. א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95 % לתוחלת הדופק של נוטלי התרופה הנ"ל. ב. נתון שהדופק הממוצע ללא לקיחת התרופה הינו 70. לאור זאת, האם בביטחון של 95% התרופה משפיעה על הדופק? ג. בהמשך לסעיף א, אם היינו בונים את רווח הסמך ברמת ביטחון של 99 % כיצד הדבר היה משפיע על רווח הסמך?.1 במדגם שנעשה על 5 מתגייסים לצבא האמריקאי התקבל כי : גובה ממוצע של חייל הינו 178 ס"מ עם סטיית תקן 13= Ŝ ס"מ. בנו רווח סמך ברמת סמך של 90 % לתוחלת גובה המתגייסים לצבא האמריקאי. מה יש להניח לצורך פתרון?. אדם מעוניין לאמוד את זמן הנסיעה הממוצע שלו לעבודה. לצורך כך הוא דוגם הנסיעה בהם בדקות הוא:. 7,34,3,40,30 5 ימים שזמן א. ברמת ביטחון של 95% אמוד את זמן הנסיעה הממוצע. מהי ההנחה הדרושה לצורך פתרון? ב. איך גודל רווח הסמך היה משתנה אם היו דוגמים עוד ימים?.3 ציוני מבחן אינטליגנציה מתפלגים נורמאלית. נדגמו 5 מבחנים והתקבל ממוצע ציונים 10 וסטיית תקן מדגמית 13. א. בנו רווח סמך לממוצע הציונים באוכלוסייה ברמת ביטחון של 95%. ב. חזרו על סעיף א' אם סטיית התקן הינה סטיית התקן האמתית של כלל הנבחנים. ג. הסבירו את ההבדלים בין שני הסעיפים הנ"ל..4 נשקלו 60 i = 1 i 60 תינוקות אשר נולדו בשבוע ה- 40 של ההיריון. המשקל נמדד בקילוגרמים. להלן 60 i = 1 X i = התוצאות שהתקבלו: = 195 X לתוחלת משקל תינוק ביום היוולדו.. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95%.5

33 33 שני סטטיסטיקאים בנו רווח בר-סמך לאותו פרמטר µ. לכל אחד מהסטטיסטיקאים מדגם אחר, אך באותו גודל. 10 שניהם קבעו אותה רמת סמך. סטטיסטיקאי א : הניח 0=σ.6 סטטיסטיקאי ב : חישב לפי המדגם וקיבל ˆ 0 S = למי משני הסטטיסטיקאים יהיה רווח סמך ארוך א. סטטיסטיקאי א ב. סטטיסטיקאי ב ג. אותו אורך רווח סמך לשני הסטטיסטיקאים. ד. תלוי בתוצאות המדגם של כל סטטיסטיקאי. יותר? ) בחר בתשובה הנכונה ( X נתון ש : ) σ N ( µ, הסמך שהתקבל הוא: ביצעו מדגם בגודל 16 וקיבלו סטיית תקן מדגמית 10. אורך רווח מהי רמת הביטחון של רווח הסמך?.7

34 34 כתבופתר-ברק קנדל

35 35 פתרונות: שאלה 1 א. < 89.7 µ 79.88< שאלה 4 א. ב. < < µ < < µ שאלה 5 < < µ שאלה 7 90%

36 36 רקע: פרק 5 -רווח סמךלפרופורציה מטרה: לאמוד את P פרופורציה באוכלוסייה. האומד הנקודתי: ) Y- מספר ההצלחות שבמדגם ( p= ˆ y pˆ (1 pˆ ) pˆ ± Z α 1 רווח הסמך ל p: התנאי לבנות את רווח הסמך הינו מדגם של לפחות 30 תצפיות( לעיתים נותנים תנאי של מספר הצלחות ומספר כשלונות לפחות 5 או לפחות ( 10 pˆ (1 pˆ ) האומד לטעות התקן: L= ε Pˆ = A+ B מתקיים ש: דוגמה: (פתרון בהקלטה) במטרה לאמוד את אחוז המובטלים במשק נדגמו 00 אזרחים. מתוכם התקבל ש 4 היו מובטלים. בנו רווח סמך לאחוז המובטלים באוכלוסייה ברמת סמך של 95%. מהו האומד לטעות התקן?.1 א. ב. פתרון: א. 16.5%>p>7.5% ב..9%

37 37 תרגילים: נדגמו 00 דירות בעיר חיפה. 48 מתוכן נמצאו כבעלות ממ"ד. א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לאחוז הדירות בחיפה עם ממ"ד. ב. על סמך סעיף א' מה ניתן לומר על שגיאת האמידה המקסימאלית? ג. בהנחה ובחיפה 80 אלף דירות, בנו רווח סמך ברמת סמך של 95 % למספר הדירות בחיפה עם ממ"ד בפועל..1 במדגם של 300 אנשי היי-טק התקבל ש- 180 מהם אקדמאים. א. בנו רווח סמך לפרופורציית אקדמאים ברמת סמך של 95% (בקרב אנשי היי-טק). ב. כיצד רווח הסמך של סעיף א היה משתנה אם היינו מקטינים את רמת הסמך? ג. כיצד רווח הסמך היה משתנה אם הינו מגדילים את גודל המדגם?. במדגם של 400 נהגים התקבל רווח סמך לפרופורציית הנהגים החדשים: א. כמה נהגים במדגם היו נהגים חדשים? ב. מהי רמת הסמך של רווח הסמך שנבנה? 0.08< p< במסגרת מערכת הבחירות בארה"ב נשאלו 840 אנשים עבור איזה מועמד יצביעו. 510 אנשים ענו כי יצביעו בעד ברק אובמה. בסקר פורסם שתתכן סטייה של ±3% האמת. באיזו רמת ביטחון הסקר השתמש? מתוצאות.4 במדגם של 300 נשים בגילאי נמצא ש- 140 היו נשואות, 80 היו גרושות, 60 רווקות והיתר אלמנות. א. מצאו רווח סמך ברמה של 90% לאחוז הגרושות באוכלוסייה הנחקרת. ב. מצאו רווח סמך ברמה של 99% לסיכוי שבאוכלוסייה הנחקרת תמצא אישה לא נשואה?.5.6 ביצעו מדגם באוכלוסייה. שיעור ההצלחות במדגם היה 10% ורווח הסמך ניבנה ברמת סמך של. 95% אורכו הינו %. מהו גודל המדגם שנלקח?

38 38 פתרונות: שאלה 3 א. 5 ב שאלה 5 א. 30.9%>p>.5% ב. 60.7%>p>45.91% שאלה 6 00

39 39 רקע: קביעת גודל מדגם באמידת פרופורציה בפרק זה נדון איך קובעים גודל מדגם שבאים לאמוד פרופורציה באוכלוסייה מסוימת: החוקר קובע מראש את רמת הסמך הרצויה: α 1. החוקר קובע מראש את הטעות הסטטיסטית המרבית שבה הוא מעוניין: ε( או את אורך רווח הסמך). =L - אורך רווח הסמך. ε - טעות אמידה מרבית : המרחק המקסימאלי (הסטייה) בין הפרמטר ) p ( לאומד ) ˆp ). = z ε 1 α. ε pˆ (1 pˆ ) ויתעניין לדעת מהו גודל המדגם הרצוי לשם כך. נקבל ש:. pˆ ( ) Z pˆ 1 pˆ α 1 L הבעיה שאין אנו יודעים את : pˆ ( 1 pˆ ) נתבונן בביטוי כיוון שאין לנו ידע מוקדם על ˆp 0.5 נציב את המקרה השמרני ביותר שממקסם את הביטוי עבור 0 z z α 1 1 α L 1 p= ˆ 0.5 דוגמה:( פתרון בהקלטה) מעוניינים לאמוד את שיעור האבטלה במשק. האמידה צריכה להתבצע ברמת סמך של 90% ועם L שגיאת אמידה שלא תעלה על 4%. מהו גודל המדגם המינימאלי שיש לקחת? פתרון : 43 כתבופתר-ברק קנדל

40 40 תרגילים : הממשלה אומדת מדי חודש את אחוז התמיכה בה. מהו גודל המדגם אשר יש לקחת אם דורשים שהאומדן לא יסטה מהאחוז האמתי באוכלוסייה ביותר מ- 3%, וזאת בביטחון של 95%?.1 ענה על הסעיפים הבאים: א. כמה אזרחים יש לדגום כדי לאמוד את אחוז התמיכה בממשלה עם אורך רווח הסמך שלא עולה על 9% ברמת סמך של 90%? ב. בהנחה ובוצע מדגם שאת גודלו חישבתם בסעיף א והתקבל שאחוז התמיכה בממשלה במדגם הנו 4%. בנו רווח סמך לאחוז התמיכה בממשלה ברמת סמך של 95%. ג. על סמך סעיף ב'. האם תקבל את הטענה שמיעוט האוכלוסייה תומך הממשלה?. משרד הבריאות מתכנן לבצע מדגם שמטרתו לבדוק את הסיכוי לחלות בשפעת עם לקיחת חיסון נגד שפעת. הוא מעוניין שבסיכוי של 98% טעות האמידה לא תעלה על 3%. א. כמה מחוסנים יש לדגום? ב. משרד הבריאות ביצע את המדגם שאת גודלו חישבת בסעיף הקודם וקיבל ש 15% מבין אלה שקיבלו חיסון נגד שפעת בכל זאת חלו במשך החורף בשפעת. בנו ברמת סמך של 98% את הסיכוי לחלות בחורף בשפעת עם לקיחת חיסון נגד שפעת..3

41 41 פתרונות : שאלה 1 : 1068

42 4 רקע: פרק 6 -רווח סמךלהפרש תוחלות ממדגמיםבלתי תלויים כששונויות האוכלוסייה ידועות מטרה: האוכלוסיות., כלומר ההבדלים של הממוצעים בין שתי µ 1 µ לאמוד את פער התוחלות: x1 x האומד נקודתי: התנאים לבניית רווח הסמך: σידועות. 1,σ 1. 1, 1 > X1, X או 30 ~ N. 3. שני מדגמים בלתי תלויים. רווח סמך: σ σ ( x1 x) ± Z + α אם הערך אפס נופל בגבולות רווח הסמך נגיד שבביטחון של α 1 לא קיים הבדל בין התוחלות. דוגמה: (פתרון בהקלטה) נדגמו 100 תושבים מאזור a והמשכורת הממוצעת הייתה שם. 900 כמו כן נדגמו 10 תושבים מאזור b וממוצע המשכורות שהתקבל שם לצורך פתרון נניח שסטיית התקן של המשכורות באוכלוסיית שני האזורים היא אמדו ברמת סמך של 90% את הפרש השכר הממוצע בין אזור a לאזור. b

43 43 תרגילים: מעוניינים לבדוק האם קיים הבדל בין ממוצע ציוני הפסיכומטרי של חיילים לממוצע ציוני הפסיכומטרי של תלמידי תיכון. ידוע שציוני הפסיכומטרי מתפלגים נורמאלית עם סטיית תקן 100. במדגם של 16 נבחנים חיילים התקבל ממוצע 543. במדגם של 0 תלמידי תיכון התקבל ממוצע 508. בנו רווח סמך לפער תוחלות הציונים בין חיילים לתלמידי תיכון ברמת סמך של 90%. מה ניתן להסיק מרווח סמך זה?.1 ציוני I.Q. מתוכננים כך שיתפלגו נורמאלית עם סטיית תקן של 15. במדגם של 0 נבחנים ישראלים התקבל ממוצע ציונים 104. במדגם של 3 נבחנים אמריקאיים התקבל ממוצע ציונים 99. א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לפער בין ישראל לארה"ב בממוצע הציונים במבחן ה- IQ. ב. האם קיים הבדל בין ישראלים לאמריקאים מבחינת ממוצע הציונים?..3 חברה להנדסת בניין מעוניינת להשוות ברמת הקשיות של שני סוגי ברגים. ידוע שרמת הקשיות של ברגים מתפלגת נורמלית עם סטיית תקן של 4 יחידות. במדגם של 15 ברגים מסוג א' התקבל רמת קשיות ממוצעת של ממוצעת של 8 יחידות ובמדגם של 1 ברגים מסוג ב' התקבל רמת קשיות. 5 עבור אילו רמות בטחון יקבע שאין הבדל בין שני סוגי הברגים מבחינת ממוצע רמת הקשיות שלהם?

44 44 פתרונות : שאלה 1 (-0,90) שאלה 3: רמות בטחון הגבוהות מ:

45 45 כששונויות האוכלוסייה אינן ידועות אך שוות רקע:, µ כלומר ההבדלים של הממוצעים בין שתי 1 µ מטרה: לאמוד את פער התוחלות: האוכלוסיות. האומד נקודתי: x1 x התנאים לבניית רווח הסמך: σ = σ. 1 X1, X ~ N מדגמים בלתי תלויים. Sˆ p = השונות המשוקללת : כיוון שאנו מניחים שבין שתי האוכלוסיות השונויות שוות אנו אומדים את השונות הזו על ידי שקלול שתי השונויות של שני המדגמים על ידי הנוסחה הבאה: ( 1) ˆ + ( 1) S Sˆ דרגות החופש : רווח סמך: d. f = + 1 Sˆ Sˆ ( x x ) t 1+ p p 1 ± α + 1 אם הערך אפס נופל בגבולות רווח הסמך נגיד שבביטחון של α 1 לא קיים הבדל בין התוחלות. דוגמה: (פתרון בהקלטה ( מחקר מעוניין לבדוק האם קיים הבדל בין תל אביב לבאר שבע מבחינת ההכנסה הממוצעת של אקדמאים.להלן תוצאות המדגם שנעשה: מספר האקדמאים ממוצע הכנסות של אקדמאים סטיית התקן של הכנסות אקדמאים תל אביב 0 באר שבע , בנו רווח סמך ברמת ביטחון של 90% להפרש תוחלות ההכנסה בשני האזורים. הניחו שהשכר מתפלג נורמלית עם אותה שונות בכל אחד מהאזורים. פתרון : (1357,1643)

46 46 נדגמו 15 ישראלים ו- 15 אמריקאים. תרגילים: כל הנדגמים נגשו למבחן.IQ להלן תוצאות המדגם:.1 המדינה גודל המדגם סכום הציונים סכום ריבועי הציונים ישראל ,390 ארה"ב ,560 מצאו רווח סמך ברמת סמך של 95% לסטייה בין ממוצע הציונים בישראל לממוצע הציונים בארה"ב. רשמו את כל ההנחות הדרושות לצורך פתרון התרגיל. N ( µ x להלן 4 תצפיות על משתנה X שמתפלג ) σ, ומשתנה Y שמתפלג ) σ,. N ( µ y. X Y חשבו רווח סמך ל- µ ברמת הסמך 90%, בהנחה ששני המדגמים בלתי תלויים. y µ x

47 47 רקע: פרק 7 -רווח סמךלתוחלת ההפרש במדגםמזווג מדגם מזווג: מדגם אחד שבו יש צמדים. כל תצפית במדגם תנפק זוג ערכים: X ניצור משתנה חדש: ו- Y. D= x y µ D הפרמטר שנרצה לאמוד: התנאים לבניית רווח הסמך: x, y ~ N המדגם מזווג נוסחת רווח הסמך: D± t 1 α 1 SD כאשר דרגות החופש: 1 d. f =

48 48 דוגמה: (פתרון בהקלטה) מעוניינים לבדוק האם יש הבדל בין מהירות הריצות של שתי תוכנות מחשב. לקחו 5 קבצים אקראיים והריצו אותם בשתי התוכנות: הקובץ הזמן בתוכנה הראשונה הזמן בתוכנה השנייה 7 הניחו כי זמני הריצות מתפלגים נורמלית. מ צאו רווח סמך של 95% להפרש תוחלת הזמן בין שתי התוכנות.

49 49 תרגילים: נדגמו 5 סטודנטים שסיימו את הקורס סטטיסטיקה ב'. להלן הציונים בסמסטר א' ו- ב': סמסטר א סמסטר ב נניח שהציונים מתפלגים נורמאלית. א. ב. ג. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לתוחלת פער הציונים בין סמסטר א לבין סמסטר ב. האם על סמך רווח הסמך קיים הבדל בין הסמסטרים מבחינת תוחלת הציונים? מה צריך לשנות בנתונים כדי שהמדגמים יהיו בלתי תלויים? במטרה לבדוק האם קיים הבדל בין קווי זהב לבזק מבחינת ממוצע המחירים לשיחות בינ"ל. נגדמו באקראי 7 מדינות ועבור כל מדינה נבדקה עלות דקת שיחה. להלן התוצאות: המדינה בזק- X קווי זהב- Y ארה"ב קנדה הולנד פולין מצרים סין יפן בהנחה והמחירים מתפלגים נורמלית עבור כל חברה בנו רווח סמך ברמת סמך של 90% לתוחלת הפרש המחירים של שתי החברות.

50 50 פרק 8 -תרגולמסכם ברווחיסמך 00 אנשים נשאלו כמה פעמים ביום הם שותים כוס קפה. להלן התפלגות התשובות: מספר פעמים מספר אנשים א. תנו רווח סמך לממוצע מספר כוסות הקפה שאנשים נוהגים לשתות ביום = α ב. אדם השותה לפחות 4 כוסות קפה ביום נקרא "מכור לקפה". בנו רווח סמך לאחוז "המכורים לקפה" = 0.1 α הוא חוקר בנה רווח סמך לאחוז האנשים שהתקררו לפחות פעם אחת בשנה. רווח הסמך שהתקבל 81 < p< 91 רווח הסמך הנ"ל התבסס על מדגם של 500 איש.. א. כמה אנשים במדגם טענו שכלל לא התקררו השנה? ב. באיזו רמת סמך נבנה רווח הסמך? ג. בנו רווח סמך לאחוז האנשים שהתקררו לפחות פעם אחת השנה ברמת סמך של 95% על סמך תוצאות המדגם. ] 3. ציוני IQ בארה"ב מתפלגים נורמאלית עם תוחלת 100. במדגם של 0 ישראלים שנבחנו במבחן 0 i= 1 0 i= 1 x = 040 x i i = ה- IQ התקבלו התוצאות הבאות: א. אמדו ברמת ביטחון של 90% את ממוצע ציוני בחינת ה- IQ בישראל מהי ההנחה הדרושה לפתרון? ב. על סמך רווח הסמך של סעיף א האם תקבלו את הטענה שבישראל ממוצע הציונים שונה מארה"ב? ג. מה היה קורה לרווח הסמך אם הינו מגדילים את רמת הסמך שלו?

51 51 בנק מתלבט האם לפתוח סניף באזור A או באזור B.לצורך פתרון נניח שסטית התקן של המשכורת באזור A היא 100 ובאזור 1500 B.הבנק דגם 50 אנשים מאזור A, המשכורת הממוצעת שהתקבלה במדגם היא. 6,800 כמו כן נדגמו 40 אנשים מאזור B, המשכורת הממוצעת שהתקבלה במדגם היא. 6,600 א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% להפרש הממוצעים של המשכורות בשני האזורים. האם על סמך רווח הסמך ניתן להמליץ לבנק היכן לפתוח את הסניף. אם כן, היכן? ב. בנו רווח סמך לתוחלת המשכורת באזור A ברמת סמך של 95% להלן מדגם של שכר הדירה בש"ח של 5 דירות שלושה חדרים בשכונת בבלי בתל אביב : שנת שנת 013 בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לתוחלת עליית שכר הדירה משנת 01 לשנת 013 בשכונת בבלי. ניתן להניח ששכר הדירה בשכונה מתפלג נורמלית.

52 5 שאלה 1 א. פתרונות: 1.1 µ 1.65 ב. p 19.15% 10.85% שאלה א. 70 ב % ג. 89% p 83% שאלה µ א ב. לא ג. יגדל שאלה 4 37 µ µ א. 77 A B 6467 µ ב. שאלה 5 1 µ µ 81

53 53 פרק 9 -בדיקתהשערותעל פרמטרים הקדמה רקע: תהליך של בדיקת השערות הוא תהליך מאד נפוץ בעולם הסטטיסטיקה. בבדיקת השערות על פרמטרים נעבוד לפי השלבים הבאים: שלבא:נזהה את הפרמטר הנחקר. שלבב: נרשום את השערות המחקר. השערת האפס המסומנות ב- בדרך כלל השערת האפס מסמלת את אשר היה מקובל עד עכשיו, את השגרה הנורמה. השערה אלטרנטיבית ) השערת המחקר ( המסומנת ב-. ההשערה האלטרנטיבית מסמלת את החדשנות בעצם ההשערה האלטרנטיבית מדברת על הסיבה שהמחקר נעשה היא שאלת המחקר. H 1 H 0 שלבג : נבדוק האם התנאים לביצוע התהליך מתקיימים ונניח הנחות במידת הצורך. שלבד: נרשום את כלל ההכרעה. בתהליך של בדיקת השערות יוצרים כלל שניקרא כללהכרעה : הכלל יוצר אזור שניקרא אזור דחייה ) דחייה של השערת האפס כלומר קבלה של האלטרנטיבה) ואזור קבלה ) קבלה של השערת האפס ודחייה של האלטרנטיבה). כלל ההכרעה מתבסס על איזשהו סטטיסטי. אזור הדחיה מוכתב על ידי סיכון שלוקח החוקר מראש שנקרא רמת מובהקות ומסומן ב- α. שלב ה: בתהליך יש ללכת לתוצאות המדגם ולחשב את הסטטיסטי המתאים ולבדוק האם התוצאות נופלות באזור הדחייה או הקבלה. שלבו : להסיק מסקנה בהתאם לתוצאות המדגם.

54 54 דוגמה:( פתרון בהקלטה) משרד הבריאות פרסם שמשקל ממוצע של תינוקות ביום היוולדם בישראל 3300 גר'. משרד הבריאות רוצה לחקור את הטענה שנשים מעשנות בזמן ההיריון יולדות תינוקות במשקל נמוך מהממוצע. במחקר השתתפו 0 נשים מעשנות בהריון. להלן תוצאות המדגם שבדק את המשקל של התינוקות בעת הלידה: = 0 X = 310 S = 80 א. מהי אוכלוסיית המחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? ג. מה הפרמטר הנחקר? ד. מהן השערות המחקר?

55 55 תרגילים: ממוצע הציונים בבחינת הבגרות באנגלית הנו 7 עם סטיית תקן 15 נקודות. מורה טוען שפיתח שיטת לימוד חדשה שתעלה את ממוצע הציונים. משרד החינוך החליט לתת למורה 36 תלמידים אקראיים. ממוצע הציונים של אותם תלמידים לאחר שלמדו בשיטתו היה מהי אוכלוסיית המחקר? א. מה המשתנה הנחקר? ב. מה הפרמטר הנחקר? ג. מהן השערות המחקר? ד..1 לפי הצהרת היצרן של חברת משקאות מסוימת נפח הנוזל בבקבוק מתפלג נורמלית עם תוחלת 500 סמ"ק וסטיית תקן 0 סמ"ק. אגודת הצרכנים מתלוננת על הפחתת נפח המשקה בבקבוק מהכמות המוצהרת. במדגם שעשתה אגודת הצרכנים התקבל נפח ממוצע של 49 סמ"ק במדגם בגודל 5. א. מהי אוכלוסיית המחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? ג. מה הפרמטר הנחקר? ד. מהן השערות המחקר?. במשך שנים אחוז המועמדים שהתקבל לפקולטה למשפטים היה 5%. השנה מתוך מדגם של 10 מועמדים התקבלו. מחקר מעוניין לבדוק האם השנה מקשים על הקבלה לפקולטה למשפטים. א. מהי אוכלוסיית המחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? ג. מה הפרמטר הנחקר? ד. מהן השערות המחקר?.3 4. בחודש ינואר השנה פורסם שאחוז האבטלה במשק הוא 8% במדגם עכשווי התקבל שמתוך 00 אנשים 6.5% מובטלים. רוצים לבדוק ברמת מובהקות של 5% האם כיום אחוז האבטלה הוא כמו בתחילת השנה. א. מהי אוכלוסיית המחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? ג. מה הפרמטר הנחקר? ד. מהן השערות המחקר?

56 56 רקע: טעויות בבדיקת השערות בתהליך של בדיקת השערות יוצרים כלל שניקרא כללהכרעה : הכלל יוצר אזור שניקרא אזור דחייה ) דחייה של השערת האפס כלומר קבלה של האלטרנטיבה) ואזור קבלה ) קבלה של השערת האפס ודחייה של האלטרנטיבה). כלל ההכרעה מתבסס על איזשהו סטטיסטי. בתהליך יש ללכת לתוצאות המדגם ולבדוק האם התוצאות נופלות באזור הדחייה או הקבלה וכך להגיע למסקנה המסקנה היא בעירבון מוגבל כיוון שהיא תלויה בכלל ההכרעה ובתוצאות המדגם. נשנה את כלל ההכרעה אנחנו יכולים לקבל מסקנה אחרת. נבצע מדגם חדש אנחנו עלולים לקבל תוצאה אחרת. לכן יתכנו טעויות במסקנות שלנו: הכרעה H0 H1 טעות מסוג אין טעות H0 מציאות 1 טעות מסוג H1 אין טעות הגדרת הטעויות: טעות מסוג ראשון-להכריע לדחות את למרות שבמציאות H 0 נכונה. H 0 טעותמסוגשני- להכריע לקבל את למרות שבמציאות H 1 נכונה. H 0 דוגמה: (פתרון בהקלטה) אדם חשוד בביצוע עבירה ונתבע בבית המשפט. אילו סוגי טעויות אפשריות בהכרעת הדין?

57 57 תרגילים: לפי הצהרת היצרן של חברת משקאות מסוימת נפח הנוזל בבקבוק מתפלג נורמלית עם תוחלת 500 סמ"ק וסטיית תקן 0 סמ"ק. אגודת הצרכנים מתלוננת על הפחתת נפח המשקה בבקבוק מהכמות המוצהרת. במדגם שעשתה אגודת הצרכנים התקבל נפח ממוצע של 49 סמ"ק במדגם בגודל 5. בסופו של דבר הוחלט להכריע לטובת חברת המשקאות. א. רשמו את השערות המחקר. מה מסקנת המחקר? ב. איזו סוג טעות יתכן וביצעו במחקר? ג..1. במחקר על פרמטר מסוים הוחלט בסופו של דבר לדחות את השערת האפס. א. האם ניתן לדעת אם בוצע טעות במחקר? ב. מה סוג הטעות האפשרית? 3. לפי נתוני משרד הפנים בשנת 1980 למשפחה ממוצעת היה.3 ילדים למשפחה עם סטיית תקן 0.4. ישנה טענה שכיום ממוצע מספר הילדים במשפחה קטן יותר. לצורך כך הוחלט לדגום 11 משפחות. במדגם התקבל ממוצע.17 ילדים למשפחה. על סמך תוצאות המדגם נקבע שלא ניתן לקבוע שבאופן מובהק תוחלת מספר הילדים למשפחה קטנה כיום. א. מהי אוכלוסיית המחקר? ב. מה המשתנה הנחקר? ג. מה הפרמטר הנחקר? ד. מה השערות המחקר? ה. מה מסקנת המחקר? ו. מהי סוג הטעות האפשרית במחקר?

58 58 פרק 10 -בדיקתהשערותעל תוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסיה ידועה רקע: H : µ = µ 0 0 H : µ > µ 1 0 H : µ = µ 0 0 H : µ < µ 1 0 H H 0 1 : µ = µ : µ µ 0 0 השערתהאפס : השערה אלטרנטיבה: תנאים: 1. σ ידועה X או מדגם מספיק גדול N. Z x > Z 1 α Z x < Z1 α Z x < Z 1 α כלל ההכרעה: Z x או > Z 1 α : H 0 אזור הדחייה של H 0 Z1 α - דוחים את Z1 α H 0 - דוחים את Z Z α α 1 1 H 0 - דוחים את סטטיסטי המבחן : Z X X µ 0 = σ חלופה אחרת לכלל הכרעה: X > 0 1 µ + Z α σ X < 0 1 µ Z α σ X X > µ + Z 0 < µ Z 0 נדחה H 0 אםמתקיים: או 1 α / 1 α / σ σ כתבופתר-ברק קנדל

59 59 דוגמה : (פתרון בהקלטה) יבול העגבניות מתפלג נורמלית עם תוחלת של 10 טון לדונם וסטיית תקן של.5 טון לדונם בעונה. משערים ששיטת זיבול חדשה תעלה את תוחלת היבול לעונה מבלי לשנות את סטיית התקן. נדגמו 4 חלקות שזובלו בשיטה החדשה. היבול הממוצע שהתקבל היה 1.5 טון לדונם. בדוק את ההשערה ברמת מובהקות של 1%.

60 60 תרגילים: ממוצע הציונים בבחינת הבגרות באנגלית הנו 7 עם סטיית תקן 15 נקודות. מורה טוען שפיתח שיטת לימוד חדשה שתעלה את ממוצע הציונים. משרד החינוך החליט לתת למורה 36 תלמידים אקראיים. ממוצע הציונים של אותם תלמידים לאחר שלמדו בשיטתו היה בהנחה שגם בשיטתו סטיית התקן תהייה 15 מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%?.1 לפי הצהרת היצרן של חברת משקאות מסוימת נפח הנוזל בבקבוק מתפלג נורמלית עם תוחלת 500 סמ"ק וסטיית תקן 0 סמ"ק. אגודת הצרכנים מתלוננת על הפחתת נפח המשקה בבקבוק מהכמות המוצהרת. במדגם שעשתה אגודת הצרכנים התקבל נפח ממוצע של 49 סמ"ק במדגם בגודל 5. א. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של.5%? ב. האם ניתן לדעת מה תהיה המסקנה עבור רמת מובהקות הגבוהה מ- 5%?. מהנדס האיכות מעוניין לבדוק אם מכונה מכוילת (מאופסת). המכונה כוונה לחתוך מוטות באורך 50 ס"מ. לפי נתוני היצרן סטיית התקן בחיתוך המוטות היא 0.5 ס"מ. במדגם של 50 מוטות התקבל ממוצע אורך המוט ס"מ.מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%?.3 4. המשקל הממוצע של הספורטאים בתחום ספורט מסוים הוא 90 ק"ג, עם סטיית תקן 8 ק"ג. לפי דעת מומחים בתחום יש צורך בהורדת המשקל ובשימוש בדיאטה מסוימת שצריכה להביא להורדת המשקל. לשם בדיקת יעילות הדיאטה נלקח מדגם מקרי של 50 ספורטאים ובתום שנה של שימוש בדיאטה התברר שהמשקל הממוצע במדגם זה היה 84 ק"ג. יש לבדוק בר"מ של 10%, האם הדיאטה גורמת להורדת המשקל. 5. לפי מפרט נתון, על עובי בורג להיות 4 מ"מ עם סטיית תקן של 0. מ"מ. במדגם של 5 ברגים העובי הממוצע היה 4.07 מ"מ. קבעו ברמת מובהקות 0.05, האם עובי הברגים מתאים למפרט. הניחו כי עובי של בורג מתפלג נורמלית וסטיית התקן של עובי בורג היא אכן 0. מ"מ.

61 61 6. במחקר נמצא שתוצאה היא מובהקת ברמת מובהקות של 5% מה תמיד נכון? הנכונה. א. הגדלת רמת המובהקות לא תשתנה את מסקנת המחקר. ב. הגדלת רמת המובהקות תשנה את מסקנת המחקר. ג. הקטנת רמת המובהקות לא תשנה את מסקנת המחקר. ד. הקטנת רמת המובהקות תשנה את מסקנת המחקר. בחר בתשובה 7. חוקר ערך מבחן דו צדדי ברמת מובהקות של αוהחליט לדחות את השערת האפס. אם החוקר היה עורך מבחן צדדי ברמת מובהקות של א. השערת האפס הייתה נדחית. ב. השערת האפס הייתה לא נדחית. ג. לא ניתן לדעת מה תהיה מסקנתו במקרה זה. α אזי בהכרח: (בחר בתשובה הנכונה ( שני סטטיסטיקאים בדקו השערות כנגד H 0 : µ=µ 0 H 1 : µ>µ 0 עבור שונות ידועה ובאותה רמת מובהקות. שני החוקרים קבלו אותו ממוצע במדגם אך לחוקר א' היה מדגם בגודל 100 ולחוקר ב' מדגם בגודל 00. א. אם חוקר א' החליט לדחות את ב. אם חוקר א' יחליט לא לדחות את, H 0 מה יחליט חוקר ב'? נמקו., H 0 מה יחליט חוקר ב'? נמקו..8

62 6 פתרונות : שאלה 1: H 0 נקבל שאלה : H 0 נדחה שאלה 3: H 0 נדחה שאלה 4: H 0 נדחה שאלה 5: H 0 נקבל שאלה 6: ב שאלה 7: ג שאלה 8: א. אותה מסקנה ב. לא ניתן לדעת.

63 63 סיכוי לטעויות ועוצמה כאשר שונות האוכלוסייה ידועה רקע: הכרעה מציאות H0 H1 טעות מסוג 1 אין טעות H0 אין טעות טעות מסוג H1 נגדיר את ההסתברויות הבאות: הסיכוי לבצעטעות מסוג ) 1 רמתמובהקות ( α=p(h 0 נכונה לדחות את ) לדחות (H H 0 )= הסיכוי לבצעטעות מסוג : ) לקבל (H H 1 )= נכונה לקבל את β =P(H 0 רמת בטחון: ) לקבל (H H 0 )= נכונה לקבל את (1-α) =P(H 0 עוצמה : ) לדחות (H H 1 ) = נכונה לדחות את π=(1-β) =P(H 0

64 64 התהליך לחישוב סיכוי לטעות מסוג שני: H : µ = µ 0 0 H : µ > µ 1 0 H : µ = µ 0 0 H : µ < µ 1 0 H H 0 1 : µ = µ : µ µ 0 0 השערת האפס : השערה אלטרנטיבה: תנאים: 3. σ ידועה X או מדגם מספיק גדול N.4 X µ + Z α > 0 1 σ X µ Z α < 0 1 σ X X > µ + Z 0 < µ Z 0 : H 0 כלל ההכרעה: אזור הדחייה של או 1 α / 1 α / σ σ σ P ( X < µ + Z ) H 0 1 α 1 σ P ( X > µ Z ) H 0 1 α 1 σ σ P ( µ Z < X < µ + Z ) H 0 α 0 α חישובβ : X σ ~ N ( µ, ) התפלגותממוצעהמדגם : Z x µ = σ התקנון :

65 65 דוגמה : (פתרון בהקלטה) בתחילת השנה חשבון הטלפון הסלולארי הממוצע לאדם היה 00 עם סטיית תקן של 80 לחודש. בעקבות כניסתן של חברות טלפון סלולארית חדשות מעוניינים לבדוק האם כיום ממוצע חשבון הטלפון הסלולארי פחת. לצורך בדיקה דגמו באקראי 36 אנשים וחשבון הטלפון הסלולארי שלהם היה 150 בממוצע לחודש. א. רשמו את השערות המחקר ובנו כלל הכרעה במונחי חשבון ממוצע מדגמי ברמת מובהקות של 5%. ב. מה מסקנתכם? איזה סוג טעות אפשרית במסקנה? ג. נניח שבמציאות כיום החשבון הממוצע הוא. 160 מה הסיכוי לבצע טעות מסוג שני? ד. אם נקטין את רמת המובהקות מסעיף א', כיצד הדבר ישפיע על התשובה מסעיף ג'?

66 66 תרגילים: X נתון ש 1) =, µσ N( להלן השערות של חוקר לגבי הפרמטר µ:.1 H : µ = 5 0 H : µ = 7 1 מעוניינים ליצור כלל הכרעה המתבסס על הסמך תצפית בודדת כך שרמת המובהקות תהיה.5%?H 0 א. עבור אילו ערכים של X שידגם נדחית השערת ב. מה הסיכוי לבצע טעות מסוג שני?.6 = X מה תהיה המסקנה ומה הטעות האפשרית? ג. אם במדגם התקבל ש 9 לפי נתוני משרד הפנים בשנת 1980 למשפחה ממוצעת היה.3 ילדים למשפחה עם סטיית תקן 0.4. מעוניינים לבדוק אם כיום ממוצע מספר הילדים למשפחה קטן יותר. לצורך כך הוחלט לדגום 11 משפחות. במדגם התקבל ממוצע.17 ילדים למשפחה. א. רשמו כלל הכרעה במונחי ממוצע מדגם קריטי ברמת מובהקות של 5%. ב. בהמשך לסעיף א מה תהיה המסקנה ומהי הטעות האפשרית במסקנה? ג. אם באמת ממוצע מספר הילדים במשפחה פחת לכדי.1 מהי העצמה של הכלל מסעיף א?. להלן נתונים על תהליך של בדיקת השערות על תוחלת: : µ = 00 σ = 30 = 5 א. רשום כלל הכרעה במונחי ממוצע מדגם קריטי וברמת מובהקות של 10%. ב. בהמשך לסעיף א מהי העצמה אם התוחלת שווה ל- 195? ג. הסבר ללא חישוב איך העצמה תשתנה אם רמת המובהקות תהייה 5%? H 0 H : µ

67 67 מפעל לייצור צינורות מייצר צינור שקוטרו מתפלג נורמלית עם תוחלת של 50 מ"מ וסטית תקן של 6 מ"מ. במחלקת ביקורת האיכות דוגמים בכל יום 81 צינורות ומודדים את קוטרם, בכדי לבדוק, בעזרת מבחן סטטיסטי, האם מכונת הייצור מכוילת כנדרש או שקוטר הצינורות קטן מהדרוש. א. רשום את ההשערות ואת כלל ההכרעה ברמת מובהקות של 5%. ב. אם ביום כלשהו מכונת הייצור התקלקלה והיא מייצרת את הצינורות בקוטר שתוחלתו 48 מ"מ בלבד (סטית התקן לא השתנתה), מה ההסתברות שהתקלה לא תתגלה בביקורת האיכות? כיצד נקראת הסתברות זו? ג. הסבר ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף ב תשתנה אם רמת המובהקות תגדל. ד. הסבר ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף ב תשתנה אם התוחלת האמיתית היא מ"מ. 47 ולא להלן השערות של מחקר H : µ = 50 H : µ = 58 מעוניינים לדגום 100 תצפיות. ידוע שסטיית התקן של ההתפלגות הינה 0. א. בנו כלל הכרעה שהסיכוי לטעות מסוג שני בו הוא. 10% מהי רמת המובהקות? ב. כיצד הייתה משתנה רמת המובהקות אם (כל סעיף בפני עצמו)? 1. סטיית התקן הייתה יותר גדולה.. הסיכוי לטעות מסוג שני גדול יותר..5 השאלות שלהלן הן שאלות רב בררתיות. בחר בכל שאלה את התשובה הנכונה ביותר: אם חוקר החליט להגדיל את רמת המובהקות במחקר שלו אזי: א. הסיכוי לטעות מסוג ראשון גדל. ב. העוצמה של המבחן גדלה. ג. הסיכוי לטעות מסוג שני גדל. ד. תשובות א ו-ב נכונות. חוקר ביצע מחקר ובו עשה טעות מסוג שני לכן: א. השערת האפס נכונה. ב. השערת האפס נדחתה. ג. השערת האפס לא נדחתה. ד. אף אחת מהתושבות לא נכונה בהכרח..6.7

68 68 מה המצב הרצוי לחוקר המבצע בדיקת השערה: 1 β α גדולה גדולה א. קטנה גדולה ב. גדולה קטנה ג. קטנה קטנה ד..8 H 0 נערך שינוי בכלל ההחלטה של בדיקת השערה מסוימת ובעקבותיו אזור דחיית קטן. כל שאר הגורמים נשארו ללא שינוי. כתוצאה מכך:.9 א. הן α, והן (β- 1), יקטנו. ב. ג. ד. הן αיישאר ללא שינוי ואילו (β- 1) יגדל. αיגדל ואילו (β- 1) יקטן. αוהן (β- 1) יגדלו. ידוע כי לחץ דם תקין באוכלוסייה הוא. 10 רופא מניח שלחץ הדם בקרב עיתונאים גבוה יותר מהממוצע באוכלוסייה. הוא לקח מדגם של 60 עיתונאים וקיבל ממוצע 137. על סמך המדגם, הוא בודק טענתו ברמת מובהקות 0.0 ומסיק שלחץ הדם בקרב העיתונאים אינו גבוה יותר. מה הטעות האפשרית שהרופא עושה? א. טעות מסוג ראשון. ב. טעות מסוג שני. ג. טעות מסוג שלישי. ד. אין טעות במסקנתו..10

69 69 פתרונות : שאלה 1: א. מעל ב שאלה : X <.4 אם א. נדחה H 0 ב. נדחה H 0 ג. 1 שאלה 3: X X > 03.9 או > אם א. נדחה H 0 ב ג. תקטן. שאלה 4: X < 48.9 אם א. נדחה H 0 ב ג. תקטן. ד. תקטן. שאלה 6: ד שאלה 7: ג שאלה 8: ג שאלה 9: א שאלה 10: ב

70 70 רקע: קביעת גודל מדגם כששונות האוכלוסיה ידועה H : µ = µ 0 0 H : µ = µ 1 1 השערות המחקר הן : סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה σומעוניינים לבצע מחקר שרמת המובהקות לא תעלה על α והסיכוי לטעות מסוג שני לא יעלה על β. הנוסחה הבאה נותנת את גודל המדגם הרצוי : 1 α + Z1 β σ ( Z ) µ 0 µ 1 דוגמה: (פתרון בהקלטה) משרד החינוך מפעיל בגן חובה שיטת חינוך שפותחה בשנת לפי שיטת חינוך זו תוחלת הציון במבחן אוצר מילים לגיל הרך הוא 70. אנשי חינוך החליטו לבדוק שיטת חינוך שפותחה בהולנד הנותנת שם תוחלת ציון אוצר מילים של 80. נניח שציוני מבחן זה מתפלגים נורמאלית עם = 17 σ. כדי לבדוק האם גם בישראל הפעלת שיטת החינוך ההולנדית תעבוד בגנים, רוצים לבנות מחקר ברמת מובהקות של 5%. כמו כן, מעוניינים שאם בהפעלת השיטה ההולנדית תוחלת הציונים תעלה לכדי 80, המחקר יגלה זאת בסיכוי של 90%. כמה ילדי גן חובה דרושים למחקר?

71 71 תרגילים: במבחן אינטליגנציה הציונים מתפלגים נורמאלית עם סטיית תקן 8 וממוצע 100. פסיכולוג מעוניין לבדוק את הטענה שבאוכלוסיות במצב סוציו אקונומי נמוך תוחלת הציונים היא 95. אם מעוניינים לגלות את הטענה בהסתברות של לפחות 99% כשרמת המובהקות היא 5% מהו גודל המדגם הדרוש?.1. משרד התקשורת טוענים שאדם מדבר בממוצע 180 דקות בחודש בטלפון הסלולרי. חברות הטלפון הסלולרי טוענות שאינפורמציה זו אינה נכונה ואדם מדבר בממוצע פחות : כ- 160 דקות. לצורך פתרון נניח שסטיית התקן של זמן השיחה החודשי ידוע ושווה ל- 60 דקות. כמה אנשים יש לדגום כך שאם טענת משרד התקשורת נכונה נדחה אותה בסיכוי של 5% (איך קוראים להסתברות זאת?) כמו כן אם טענת חברות הטלפון הסלולרית נכונה המחקר יגלה זאת בסיכוי של 90% (איך קוראים להסתברות זאת?) H : µ = µ השערות המחקר הן : H : µ = µ 1 1 כמו כן נתון שהמשתנה מתפלג נורמלית עם סטיית התקן ידועה σמעוניינים לבצע מחקר שרמת המובהקות לא תעלה על αוהסיכוי לטעות מסוג שני לא יעלה על β. הוכח שגוגל המדגם הרצוי לכך יהיה : 1 α + Z1 β σ ( Z ) µ 0 µ 1

72 7 פתרונות : שאלה 1: 41 שאלה : 78 שאלה 3: הוכחה

73 73 -ברקקנדל כתבופתר מובהקות התוצאה ) p-value ( בבדיקת השערותעלתוחלתעם שונותידועה רקע: דרך נוספת להגיע להכרעות שלא דרך כלל הכרעה, היא דרך חישוב מובהקות התוצאה:. p v באמצעות תוצאות המדגם מחשבים את מובהקות התוצאה שמסומן ב- את רמת המובהקות החוקר קובע מראש לעומת זאת,את מובהקות התוצאה החוקר יוכל לחשב רק אחרי שיהיו לו את התוצאות. המסקנה של המחקר תקבע לפי העיקרון הבא: H 0 pv אם α דוחים את p v = מובהקות התוצאה זה הסיכוי לקבלת תוצאות המדגם וקיצוני מתוצאות אלה בהנחת השערת P H 0 (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני ( האפס. אם ההשערה היא דו צדדית : (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני) p = P v H 0 מובהקות התוצאה היא גם האלפא המינימלית לדחיית השערת האפס. H : µ = µ 0 0 H : µ > µ 1 0 H : µ = µ 0 0 H : µ < µ 1 0 H H 0 1 : µ = µ : µ µ 0 0 השערת האפס : השערה אלטרנטיבה: תנאים: 5. σידועה X או מדגם מספיק גדול N.6 P ( ) H 0 X x P ( ) H 0 X x אם P ( X x ) x > µ H0 0 אם P ( X x ) x < µ H0 0 p-value σ כאשרבהנחתהשערתהאפס : µ X ~ N ( 0, ) Z x x µ 0 = σ

74 74 דוגמה: (פתרון בהקלטה) המשקל הממוצע של מתגייסים לצבא לפני 0 שנה היה 65 ק"ג. מחקר מעוניין לבדוק האם כיום המשקל הממוצע של מתגייסים גבוה יותר. נניח שמשקל המתגייסים מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של 1 ק"ג. במדגם של 16 מתגייסים התקבל משקל ממוצע של 71 ק"ג. א. מהי מובהקות התוצאה? ב. מה המסקנה אם רמת המובהקות היא 5% ואם רמת המובהקות היא 1%?

75 75 תרגילים: 1 לפניך השערות של מחקר : H0 : µ = 70. H : µ > 70 המשתנה הנחקר מתפלג נורמלית עם סטיית תקן 0. במדגם מאותה אוכלוסייה התקבלו התוצאות הבאות: = 100 x = 74 מהי מובהקות התוצאה?.1 השכר הממוצע במשק בשנת 01 היה 8800 עם סטיית תקן 000. במדגם שנעשה אתמול על 100 עובדים התקבל שכר ממוצע מטרת המחקר היא לבדוק האם כיום חלה עליה בשכר. עבור אילו רמות מובהקות שיבחר החוקר יוחלט שחלה עליה בשכר הממוצע במשק?. אדם חושד שחברת ממתקים לא עומדת בהתחייבויותיה, ומשקלו של חטיף מסוים אותו הוא קונה מדי בוקר נמוך מ של א. 100 גרם. חברת הממתקים טוענת מצידה שהיא אכן עומדת בהתחייבויותיה. ידוע כי סטית התקן של משקל החטיף היא 1 גרם. האדם מתכוון לשקול 100 חפיסות חטיפים ולאחר מכן להגיע להחלטה. לאחר הבדיקה הוא קיבל משקל הממוצע 98.5 גרם. רשמו את השערות המחקר..3 ב. ג. ד. מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה דוחים את השערת האפס? מהי רמת המובהקות המקסימלית עבורה נקבל את השערת האפס? מה המסקנה ברמת מובהקות של 5? מכונה לחיתוך מוטות במפעל חותכת מוטות באורך שמתפלג נורמאלית עם תוחלת אליה כוונה המכונה וסטיית תקן ס"מ. ביום מסוים כוונה המכונה לחתוך מוטות באורך 80 ס"מ. אחראי האיכות מעוניין לבדוק האם המכונה מכוילת. לצורך כך נדגמו מקו הייצור 16 מוטות שנחתכו אורכן הממוצע היה 81.7 ס"מ. א. מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה נכריע שהמכונה לא מכוילת? ב. אם נוסיף עוד תצפית שערכה יהיה 8 ס"מ, כיצד הדבר ישפיע על התשובה של הסעיף הקודם? ג. הכרע ברמת מובהקות של 5% האם המכונה מכוילת..4

76 76 אם מקבלים בחישובים אלפא מינימלית value) P) קטנה מאוד, סביר להניח כי החוקר ידחה את השערת האפס בקלות. נכון? לא נכון? נמק..5 בבדיקת השערות התקבל שה- p-value=0.0. מה תהיה מסקנת חוקר המשתמש ברמת מובהקות 1%? בחר בתשובה הנכונה. א. יקבל את השערת האפס בכל מקרה..6 ב. ידחה את השערת האפס מקרה. ג. ידחה את השערת האפס רק אם המבחן הנו דו צדדי. ד. לא ניתן לדעת כי אין מספיק נתונים. מובהקות התוצאה PV) ) היא גם : ) בחר בתשובה הנכונה ( א. רמת המובהקות המינימאלית לדחות השערת האפס. ב. רמת המובהקות המקסימאלית לדחיית השערת האפס. ג. רמת המובהקות שנקבעת מראש על ידי החוקר טרם קיבל את תוצאות המחקר. ד. רמת המובהקות המינימאלית לאי דחיית השערת האפס..7 בבדיקת השערות מסוימת התקבל value=0.054 p הנכונה): א. ברמת מובהקות של ב. ג. ד. ברמת מובהקות של 0.01 ושל 0.05 ברמת מובהקות של ברמת מובהקות של 0.01 ושל אך לא של 0.05 נדחה את H. 0 H. 0 לא נדחה את 0.05 אך לא של 0.01 נדחה את H. 0 H. 0 נדחה את לכן (בחר בתשובה.8

77 77 פתרונות : שאלה 1: 0.08 שאלה : עבור כל רמת מובהקות סבירה. שאלה 3: ב ג ד. נכריע שיש עמידה בהתחייבות של החברה. שאלה 4: א ב. יקטן. ג. נכריע שאין כיול. שאלה 5: נכון שאלה 6: תשובה :א שאלה 7: תשובה: א שאלה 8: תשובה: ג

78 78 בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע) כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה רקע: H : µ = µ 0 0 H : µ > µ 1 0 H : µ = µ 0 0 H : µ < µ 1 0 H H 0 1 : µ = µ : µ µ 0 0 השערתהאפס : השערה אלטרנטיבה: תנאים: 7. σאינה ידועה X או מדגם מספיק גדול N.8 t x ( 1) > t α 1 t x < t ( 1) 1 α t x < t ( 1) α 1 t x ( 1) > t α 1 כלל ההכרעה: או : H 0 אזור הדחייה של t1 α, 1 t1 α, 1 t α α 1, 1 1, 1 t - דוחים את H 0 H 0 - דוחים את H 0 - דוחים את X > µ + t α S X > µ t α S X X > µ + t α 1 < µ t 1 α 1 S חלופה לכלל הכרעה : אם מתקיים: נדחה H 0 או S S = סטטיסטי המבחן : t x x µ 0 = S ( ) X X X i i X = 1 1 i= 1 i= 1 כתבופתר-ברק קנדל

79 79 התפלגות T: הינה התפלגות סימטרית פעמונית שהתוחלת שלה היא 0. ההתפלגות דומה להתפלגות Z רק שהיא יותר רחבה ולכן הערכים שלה יהיו יותר גבוהים. התפלגות T תלויה במושג שנקרא דרגות חופש. דרגות החופש הן.df=-1 ככל שדרגות החופש עולות ההתפלגות הופכת להיות יותר גבוהה וצרה. כשדרגות החופש שואפות לאינסוף התפלגות T שואפת להיות כמו התפלגות Z. דוגמה: (פתרון בהקלטה) מפעל קיבל הזמנה לייצור משטחים בעובי של 0.1 ס"מ. כדי לבדוק האם המפעל עומד בדרישה נדגמו 10 משטחים ונמצא שהעובי הממוצע הוא עם אומדן לסטיית תקן 0.00 ס"מ. א. מהן השערות המחקר? ב. מה ההנחה הדרושה לצורך פתרון? ג. בדוק ברמת מובהקות של 5%. כתבופתר-ברק קנדל

80 80 תרגילים: משך זמן ההחלמה בלקיחת אנטיביוטיקה מסוימת הוא 10 שעות בממוצע עם סטיית תקן לא ידועה. מעוניינים לבדוק האם אנטיביוטיקה אחרת מקטינה את משך זמן ההחלמה. במדגם של 5 חולים שלקחו את האנטיביוטיקה האחרת התקבלו זמני ההחלמה הבאים: 90,95,100,80,15 שעות. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%. מהי ההנחה הדרושה לצורך הפתרון?.1 משרד הבריאות פרסם שמשקל ממוצע של תינוקות ביום היוולדם בישראל 3300 גר'. משרד הבריאות רוצה לחקור את הטענה שנשים מעשנות בזמן ההיריון יולדות תינוקות במשקל נמוך מהממוצע. במחקר השתתפו של התינוקות בעת הלידה: = 0 x= 310 S = 80 0 נשים מעשנות בהריון. להלן תוצאות המדגם שבדק את המשקל. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5% מה יש להניח לצורך פתרון? ציוני מבחן אינטליגנציה מתפלגים נורמלית. בארה"ב ממוצע הציונים הוא 100. במדגם שנעשה על 3 נבחנים ישראלים, התקבל ממוצע ציונים וסטיית התקן המדגמית 16.האם בישראל ממוצע הציונים שונה מבארה"ב? הסיקו ברמת מובהקות של 5%..3 באוכלוסייה מסוימת נדגמו 10 תצפיות והתקבלו התוצאות הבאות: 10 Xi = 750 i= 1 10 ( Xi X ) = 900 i= 1 נתון שההתפלגות היא נורמלית. בדוק ברמת מובהקות של 5% האם התוחלת של ההתפלגות שונה מ

81 81 ליאור ורוני העלו את אותן השערות על ממוצע האוכלוסייה. כמו כן הם התבססו על אותן תוצאות של מדגם. ליאור השתמש בטבלה של התפלגות רוני השתמשה בטבלה של התפלגות. Z. t מה נוכל לומר בנוגע להחלטת המחקר שלהם? בחר בתשובה הנכונה. א. אם ליאור ידחה את השערת האפס אז גם בהכרח רוני. ב. אם רוני תדחה את השערת האפס אז גם בהכרח ליאור. ג. שני החוקרים בהכרח יגיעו לאותה מסקנה. ד. לא ניתן לדעת על היחס בין דחיית השערת האפס של שני החוקרים..5 X נתון ש ) σ N( µ, כמו כן נתונות ההשערות הבאות : H : µ = µ 0 0 H : µ < µ חוקר בדק את ההשערות הללו על סמך מדגם שכלל 10 תצפיות. σלא הייתה ידועה לחוקר. החוקר החליט לדחות את השערת האפס ברמת מובהקות של 5% לאחר מכן כדי לחזק את קביעתו הוא דגם עוד 5 תצפיות ושקלל את תוצאות אלה גם למדגם כך שכלל עכשיו 15 תצפיות. בחר בתשובה הנכונה: א. כעת בברור הוא ידחה את השערת האפס. ב. כעת הוא דווקא יקבל את השערת האפס. ג. כעת לא ניתן לדעת מה תהיה מסקנתו.

82 8 פתרונות: שאלה 1: נדחה H 0 שאלה : H 0 נדחה שאלה 3: H 0 נקבל שאלה 4: H 0 נקבל שאלה 5: התשובה היא : ב שאלה 6: התשובה היא : ג

83 83 ( בבדיקת השערות על תוחלת עם שונות אוכלוסייה לא ידועה -ברקקנדל כתבופתר מובהקות התוצאה ) p-value רקע: נזכיר שהמסקנה של המחקר תקבע לפי העיקרון הבא: H 0 pv אם α דוחים את p v = מובהקות התוצאה זה הסיכוי לקבלת תוצאות המדגם וקיצוני מתוצאות אלה בהנחת השערת האפס. P H 0 (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני) אם ההשערה היא דו צדדית : (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני) p = P v H 0 מובהקות התוצאה היא גם האלפא המינימלית לדחיית השערת האפס. H : µ = µ 0 0 H : µ > µ 1 0 H : µ = µ 0 0 H : µ < µ 1 0 H H 0 1 : µ = µ : µ µ 0 0 השערת האפס : השערה אלטרנטיבה: תנאים: 9. σ אינה ידועה X או מדגם מספיק גדול N.10 P ( ) H 0 X x P ( ) H 0 X x אם P ( X x ) x > µ H0 0 אם P ( X x ) x < µ H0 0 p-value t x = x µ 0 Sˆ ˆ i= 1 i= 1 S = ( ) X X X i X i = 1 1 d. f = 1 דוגמה : (פתרון בהקלטה)

84 84 ממוצע זמן הנסיעה של אדם לעבודה הינו 40 דקות. הוא מעוניין לבדוק דרך חלופית שאמורה להיות יותר מהירה. לצורך כך הוא דוגם 5 ימים שבהם הוא נוסע בדרך החלופית. זמני הנסיעה שקיבל בדקות הם : א. רשום את השערות המחקר. ב. ג.. 7,34,3,40,30 הנח שזמן הנסיעה מתפלג נורמלית. מצא חסמים למובהקות התוצאה. מה המסקנה ברמת מובהקות של? 5%

85 85 תרגילים : קו ייצור אריזות סוכר נארזות כך שהמשקל הממוצע של אריזות הסוכר צריך להיות אחד קילוגרם. בכל יום דוגמים מקו הייצור 5 אריזות במטרה לבדוק האם קו הייצור תקין. בבדיקה דגמו 5 אריזות סוכר ולהלן משקלן בגרמים: 1008,104,996,1005,997 א. רשמו את השערות המחקר. ב. מהי מובהקות התוצאה? הצג חסמים. ג. מה המסקנה ברמת מובהקות של 5%?.1 חוקר בדק את הטענה כי פועלים העובדים במשמרת לילה איטיים יותר מפועלים העובדים ביום. ידוע כי משך הזמן הממוצע הדרוש לייצר מוצר מסוים ביום הוא 6 שעות. במדגם מיקרי של 5 פועלים שעבדו במשמרת לילה נמצא כי הזמן הממוצע לייצר אותו מוצר הוא 7 שעות עם סטית תקן של 3 שעות. מהי ה- αהמינימלית שלפיה ניתן להחליט שאכן העובדים במשמרת לילה איטיים יותר?. הגובה של מתגייסים לצה"ל מתפלג נורמלית. במדגם של 5 מתגייסים מדדו את הגבהים שלהם בס"מ והתקבלו התוצאות הבאות: x = 176. ( x x) = 83 i מטרת המחקר היא לבדוק האם תוחלת הגבהים של המתגייסים גבוה מ- 174 ס"מ באופן מובהק. מהי בקרוב מובהקות התוצאה ועל פיה מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של 6%?.3

86 86 פתרונות : שאלה 3: H 0 נקבל

87 87 ניתוח פלטי SPSS רקע: חישוב מובהקות התוצאה באמצעות פלט תוכנת SPSS האם test value של הפלט תואם לזה של השערת האפס? כן לא חישוב ידני האם ההשערה דו צדדית? כן לא האם הסימן של t בפלט תואם את כיוון ההשערה? PV = sig כן לא sig P V = 1 P = V sig

88 88 דוגמה: (פתרון בהקלטה) Oe-Sample Statistics time Std. Error N Mea Std. Deviatio Mea Oe-Sample Test time Test Value = 60 95% Cofidece Iterval of the Mea Differece t df Sig. (-tailed) Differece Lower Upper ממוצע הציונים במבחן המיצב בחשבון הוא 60. הוחלט לדגום כיתה אקראית של 5 תלמידים וללמד אותם בשיטת לימוד חדשה. א. מהו רווח הסמך לממוצע הציונים בחשבון אם יוחלט ליישם את שיטת הלימוד החדשה? P V ב. מהו לבדיקת יעילותה של שיטת הלימוד החדשה? ג. מה יוכרע ברמת מובהקות של 5% לגבי יעילותה של שיטת הלימוד החדשה?

89 89 תרגילים : באוניברסיטה גדולה גיל הסטודנטים לתואר ראשון מתפלג נורמאלית. בעבר פורסם שהגיל הממוצע של הסטודנטים הינו 3. להלן פלט תוכנת SPSS על מדגם של 16 סטודנטים אקראיים מתואר ראשון:.1 Oe-Sample Statistics age Std. Error N Mea Std. Deviatio Mea Oe-Sample Test age Test Value = 3 95% Cofidece Iterval of the Mea Differece t df Sig. (-tailed) Differece Lower Upper א. מהו המבחן הסטטיסטי שנעשה כאן? ב. מה ערכו של הפרמטר לפי השערת האפס? ג. רשום רווח סמך ברמת סמך של 95% לתוחלת גיל הסטודנטים באוניברסיטה לתואר ראשון. ד. בדוק ברמת מובהקות של 5% האם הגיל הממוצע כיום שונה מבעבר? קבוצת ילדים בגיל 6 קיבלה משימה לביצוע. עבור כל ילד בדקו כמה זמן לקח לו לסיים את המשימה בדקות. להלן תוצאות הניתוח הסטטיסטי:. Oe-Sample Test time Test Value = % Cofidece Iterval of the Mea Differece t df Sig. (-tailed) Differece Lower Upper א. כמה ילדים השתתפו במחקר? ב. מצא רווח סמך ברמת סמך של 95% לתוחלת זמן ביצוע המשימה עבור ילדים בני 6. ג. מה יש להניח כדי שרווח הסמך מסעיף א' יהיה תקף? ד. בדוק ברמת מובהקות של 5% שזמן ביצוע המשימה הממוצע נמוך מ- 4.5 דקות.

90 90 לפניך פלט מחשב עבור ניתוח סטטיסטי שנעשה בתוכנת.SPSS הניתוח הוא עבור מדגם אקראי של קבוצת נבחנים בבגרות באנגלית..3 Oe-Sample Statistics grade Std. Error N Mea Std. Deviatio Mea?????? Oe-Sample Test grade Test Value = 75 95% Cofidece Iterval of the Mea Differece t df Sig. (-tailed) Differece Lower Upper??? ???? א. השלם את הגדלים החסרים המסומנים בסמני שאלה בפלט. מהי מובהקות התוצאה לבדיקת ההשערה שהתוחלת של הציונים שונה מ- 75? ב. מהי מובהקות התוצאה לבדיקת ההשערה שהתוחלת של הציונים קטנה מ- 75? ג. מהי מובהקות התוצאה לבדיקת ההשערה שהתוחלת של הציונים גדולה מ- 75? ד. יצרן סיגריות מפרסם כי תוחלת הניקוטין בסיגריות שהוא מיצר קטנה מ- 7 מ"ג. בבדיקה מקרית של 5 סיגריות מתוצרתו נמצאו כמויות הניקוטין הבאות: 4, 0, 1, 1, מ"ג. הנח כי כמות הניקוטין בסיגריות מפולג נורמאלי..4 א. ג. האם ברמת מובהקות של 5% ניתן להסיק שיש אמת בפרסום? ב. אם הינו מוסיפים עוד תצפית שערכה. 0 כיצד הדבר היה משפיע על הערך Sig ועל המסקנה? בדוק האם ניתן להגיד שתוחלת רמת הניקוטין שונה מ 6 ברמת מובהקות של. 5%

91 91 פתרונות : שאלה 1: ב. 3 ג.(.104,4.771) H 0 ד. נקבל שאלה : א. 5 ב. (4.3056,4.5104) H 0 ד. נדחה שאלה 3 א. 44= X = t=.48 upper= ב ג ד שאלה 4: א. נכריע שיש אמת בפרסום. ב. מסקנה לא תשתנה. ג. נכריע שהתוחלת שונה מ 6.

92 9 הקשר בין רווח סמך לבדיקת השערות על תוחלת רקע: ניתן לבצע בדיקת השערות דו צדדית ברמת מובהקות α על : H H 0 1 : µ = µ : µ µ 0 0 על ידי בניית רווח סמך ברמת סמך של α 1 ל : µ 0 אם נופל ברווח נקבל את H 0 µ 0 אם לא נופל ברווח נדחה את H 0 דוגמה: (פתרון בהקלטה) חוקר ביצע בדיקת השערות לתוחלת. להלן השערותיו: H 0 : µ = 80 H 1: µ 80 α = 5%. החוקר בנה רווח סמך ברמה של 90% וקיבל : 84 < µ >79 האם אפשר לדעת מה מסקנתו, ואם כן מהי?

93 93 תרגילים : 0 1 חוקר רצה לבדוק את ההשערות הבאות: H : µ = 90 H : µ 90 החוקר בנה רווח סמך לתוחלת ברמת סמך של 95% וקיבל את רווח הסמך הבא: (87,97). אם החוקר מעוניין לבצע בדיקת השערות ברמת מובהקות של 1% האם ניתן להגיע למסקנה ע"ס רווח הסמך? נמקו..1 של חוקר מעוניין לבדוק השפעת דיאטה חדשה על רמת הסוכר בדם. ידוע כי מספר מיליגרם הסוכר בסמ"ק דם הוא משתנה מקרי שמתפלג נורמלית עם סטיית תקן 10.4 מ"ג. נלקח מדגם 60 נבדקים שניזונו מדיאטה זו. נמצא כי ממוצע מספר המיליגרם סוכר היה מ"ג לסמ"ק. א. בנה רווח סמך ברמת סמך 95% לתוחלת רמת הסוכר בדם אצל הניזונים מדיאטה זו. ב. ידוע שתוחלת רמת הסוכר בדם באוכלוסיה היא 90 מ"ג לסמ"ק. האם לדעתך ניתן להסיק על סמך תוצאת סעיף א שהדיאטה משפיעה על רמת הסוכר בדם? הסבר.. יצרן אנטיביוטיקה רושם על גבי התרופות שכמות הפנצלין היא 00 מ"ג לקפסולה. משרד הבריאות ביצע מדגם של 8 קפסולות אקראיות מקו הייצור ומצא שבממוצע יש 196 מ"ג פנצילין לקפסולה עם סטיית תקן מדגמית של של 5 מ"ג. בהנחה וכמות הפנצלין בקפסולה מתפלגת נורמלית. א. בנה רווח סמך ברמת סמך של 95% לממוצע כמות הפנצלין לקפסולה המיוצרת על ידי יצרן האנטיביוטיקה. ב. בדוק ברמת מובהקות של 5% האם יש אמת באינפורמציה המסופקת על ידי היצרן..3

94 94 פתרונות : H 0 שאלה 1: 1. נקבל השערת שאלה : µ 118. א. 13 ב. נכריע שהדיאטה משפיעה על תוחלת רמת הסוכר בדם. שאלה 3: µ 00. א. ב. נכריע שיש אמת בפרסום.

95 95 רקע: פרק 11 -בדיקתהשערות עלפרופורציה התהליך H : p= p 0 0 H : p> p 1 0 Z pˆ > Z 1 α H : p= p 0 0 H : p< p 1 0 Z p ˆ < Z1 α H 0 1 : p= p H : p p 0 0 ˆ p Z או 0 0 p 5& (1 p ) 5 Z p ˆ < Z > Z α 1 α 1 השערתהאפס : השערה אלטרנטיבית: תנאים: כלל ההכרעה: אזור הדחייה של : Z1 α H 0 - דוחים את Z1 α H 0 - דוחים את Z Z α α 1 1 H 0 - דוחים את סטטיסטי המבחן : pˆ p0 Z p ˆ = p0( 1 p0) חלופהאחרתלכלל הכרעה: pˆ > p + Z α 0 1 p 0 ( 1 p ) 0 pˆ p Z < 0 1 α p 0 ( 1 p ) 0 pˆ > p0 + Z1 α / pˆ < p Z α 0 1 / ( 1 p ) כלל ההכרעה: אזור הדחייה של או p p ( 1 p ) 0 H 0 כתבופתר-ברק קנדל

96 96 דוגמה: (פתרון בהקלטה) בחודש ינואר השנה פורסם שאחוז האבטלה במשק הוא 8% במדגם עכשווי התקבל שמתוך 00 אנשים 6.5% מובטלים. בדקו ברמת מובהקות של 5% האם כיום אחוז האבטלה הוא כמו בתחילת השנה.

97 97 תרגילים: במשך שנים אחוז המועמדים שהתקבל לפקולטה מסוימת היה 5%. השנה מתוך מדגם של 10 מועמדים התקבלו. ברמת מובהקות של 5% האם השנה הקשו על תנאי הקבלה?.1 במדגם של 300 אזרחים 57% מתנגדים להצעת חוק מסוימת. לאור נתונים אלה האם רוב האזרחים מתנגדים להצעת החוק? בדקו ברמת מובהקות של 10%.. 3. הטילו מטבע 50 פעמים וקיבלו 8 פעמים עץ. האם המטבע הוגן ברמת מובהקות של 5%? קפיטריה במכללה מסוימת מעריכה כי אחוז הסטודנטים שקונים קפה בקפיטריה הינו 0%. נערך סקר אשר כלל 00 סטודנטים. התברר כי 33 מהם רוכשים קפה בקפיטריה. מטרת הסקר הייתה לבדוק את אמיתות הערכה של הקפיטריה. א. רשמו את ההשערות. ב. בדוק את ההשערות ברמת מובהקות של 10%. ג. מה תהיה המסקנה אם נקטין את רמת המובהקות?.4 חבר כנסת רוצה להעביר חוק. לצורך כך הוא דוגם 400 אזרחים במטרה לבדוק האם רוב האזרחים תומכים בחוק. במדגם התקבל ש- 76 אזרחים תומכים בחוק. א. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%? ב. האם ניתן לדעת מה תהיה המסקנה אם רמת המובהקות תהיה גדולה יותר? הסבירו..5 α שני חוקרים בדקו את ההשערות הבאות: H :p= p 0 0 H :p> p 1 0 חוקר א השתמש ברמת מובהקות α 1 וחוקר ב ברמת מובהקות החוקר הראשון דחה את.6 H 0 ואילו החוקר השני קיבל את בחר בתשובה הנכונה: א.. H 0 שניהם התבססו על אותם תוצאות של מדגם. α1= α α1> α α1< α ב. ג. ד. המצב המתואר לא אפשרי.

98 98 פתרונות : שאלה 1: H 0 נדחה שאלה : H 0 נדחה שאלה 3: H 0 נקבל שאלה 4: ב. נקבל H 0 ג. המסקנה לא תשתנה. שאלה 5: H 0 א. נדחה ב. המסקנה לא תשתנה. שאלה 6: התשובה היא : ג.

99 99 רקע: סיכוי לטעויות ועוצמה הכרעה מציאות H0 H1 טעות מסוג 1 אין טעות H0 אין טעות טעות מסוג H1 נגדיר את ההסתברויות הבאות: הסיכוי לבצעטעות מסוג ) 1 רמתמובהקות ): α=p(h 0 נכונה לדחות את H 0 )= הסיכוי לבצעטעות מסוג : β =P(H 0 נכונה לקבל את H 1 )= (1-α) נכונה לקבל את =P(H 0 H 0 )= רמת בטחון: π=(1-β ) =P(H 0 נכונה לדחות את H 1 ) = עוצמה :

100 100 התהליך לחישוב סיכוי לטעות מסוג שני: H : p= p 0 0 H : p> p 1 0 H : p= p 0 0 H : p< p 1 0 H 0 1 : p = p 0 H : p p p 5 & (1 p ) 5 השערת האפס : השערה אלטרנטיבית: תנאים: pˆ > p + Z α 0 1 p 0 ( 1 p ) 0 pˆ < p0 Z1 α p 0 ( 1 p ) 0 pˆ > p + Z α 0 1 / או pˆ < p0 Z1 α / p p 0 0 ( 1 p ) 0 ( 1 p ) 0 כללההכרעה: אזור הדחייהשל H 0 P pˆ p Z ( 1 p ) 0 0 ( < + ) H 0 1 α 1 p P pˆ > p Z ( 1 p ) 0 0 ( ) H 0 1 α 1 p ( 1 ) ( 1 ) p p p p P p Z pˆ p Z ( 0 0 ) H α < < + α חישובβ : ˆ p(1 p) P ~ N ( p, ) כאשר : Z pˆ = pˆ p p ( 1 p) והתקנון:

101 101 דוגמה: (פתרון בהקלטה) רופאי שיניים טוענים שיותר ממחצית האוכלוסייה הבוגרת בארץ אינם מבקרים אצל רופא שיניים באופן קבוע, כנדרש. כדי לבדוק טענה זו, נערך סקר בקרב 150 אנשים בוגרים. א. רשמו את ההשערות וכלל הכרעה ברמת מובהקות של 10%. ב. מהי עוצמת המבחן אם מסתבר ש 60% מהאוכלוסייה אינם מבקרים אצל רופא שיניים באופן קבוע.

102 10 תרגילים: משרד הבריאות פרסם ש 10% מתושבי המדינה סובלים ממחלת האסטמה. מחקר דורש לבדוק האם בחיפה, בגלל זיהום האוויר, שיעור הסובלים מאסטמה גבוה יותר. לצורך המחקר נבדקו 60 מתושבי חיפה. א. רשמו את השערות המחקר, וצרו מבחן ברמת מובהקות של 5% לבדיקתן. ב. מהי עצמת המבחן של סעיף א' בהנחה ובחיפה 16% מהתושבים סובלים מאסטמה? ג. כיצד תשנה התשובה לסעיף ב' אם מסתבר שבחיפה 18% סובלים מאסטמה? ד. בהמשך לסעיף א' האם נכון לומר שבהסתברות של 5% ההשערה שבחיפה 10% מהתושבים סובלים מאסטמה אינה נכונה? אחוז הסובלים מתופעות הלוואי מתרופה מסוימת הוא 15%. חברת תרופות טוענת שפיתחה תרופה שאמורה לצמצם את אחוז הסובלים מתופעות לוואי. לצורך בדיקת הטענה הוחלט לבצע מחקר שיכלול 10 חולים שיקבלו את התרופה הנבדקת. א. נניח שהתרופה נבדקת אכן מורידה את פרופורציות הסובלים מתופעות הלוואי ל- 10% מהי עצמת המבחן עבור רמת מובהקות של 5%?.1. בעיר מסוימת היו 0% אקדמאים. בעקבות פתיחת מכללה בעיר לפני כמה שנים מעוניינים לבדוק האם אחוז האקדמאים גדל. מעוניינים שהמחקר יכלול 00 אנשים והוא יהיה ברמת מובהקות של 5%. א. חשבו את הסיכוי לבצע טעות מסוג שני בהנחה והיום יש 8% אקדמאים. ב. כיצד התשובה לסעיף הקודם תשתנה אם נגדיל את רמת המובהקות?.3 מעוניינים לבדוק האם בפקולטה מסוימת ישנה העדפה לגברים. הוחלט לדגום 00 מתקבלים ועל סמך מספר הבנים לקבוע אם טענת המחקר מתקבלת. חוקר א' קבע רמת מובהקות של 5% וחוקר ב' החליט לקבל את טענת המחקר אם במדגם יהיו לפחות 10 בנים. למי מבין החוקרים רמת מובהקות גדולה יותר?.4 חוקר ביצע מחקר ובו עשה טעות מסוג שני לכן ) בחר בתשובה הנכונה ( א. השערת האפס נכונה. ב. השערת האפס נדחתה. ג. השערת האפס לא נדחתה. ד. אף אחת מהתושבות לא נכונה בהכרח קבע אם הטענה הבאה נכונה: "בבדיקת השערות לא ניתן לבצע בו זמנית טעות מסוג ראשון וטעות מסוג שני"

103 103 פתרונות: שאלה 1: ב ג. תגדל ד. טענה לא נכונה. שאלה : שאלה 3: א ב. תקטן. שאלה 4: חוקר א. שאלה 5: התשובה הנכונה היא ג. שאלה 6: נכונה.

104 104 רקע: קביעת גודל מדגם H : p= p 0 0 H : p= p 1 1 השערות המחקר הן : מעוניינים לבצע מחקר שרמת המובהקות לא תעלה על αוהסיכוי לטעות מסוג שני לא יעלה על β. הנוסחה הבאה נותנת את גודל המדגם הרצוי : Z1 α p0q0 + Z1 p1q β 1 p0 p 1 דוגמה: (פתרון בהקלטה) רוצים לבדוק האם אחוז האנשים השוהים בשמש ללא הגנה ירד בעקבות הפרסומת על נזקי השמש. בעבר 60% מהאוכלוסייה שהתה בשמש ללא הגנה. מה גודל המדגם המינימלי שיש לקחת כדי לבדוק שהאחוז הנ"ל ירד ל 48% אם מעוניינים שהסיכוי לטעות מסוג ראשון יהיה 5% והסיכוי לטעות מסוג שני יהיה 1%?

105 105.1 תרגילים: משרד התמ"ת פרסם שאחוז האבטלה במשק היום עומד על 8%. לעומתו, משרד הפנים טוען שחלה עלייה בשיעור האבטלה עד לכדי 11%. כדי לבדוק מי מבניהם צודק, מה צריך להיות גודל המדגם שיענה על שני התנאים הבאים: אם משרד התמ"ת צודק, נדחה את טענתו בסיכוי של 10%. אם משרד הפנים צודק, נדחה את טענתו בסיכוי של 4%. מפעיל קזינו מפרסם שהסיכוי לזכות במכונת מזל הינו 0.4. אדם טוען שהסיכויים לזכות במשחק נמוכים יותר. כמה פעמים יש לשחק את המשחק כדי שאם טענת מפעיל הקזינו נכונה נקבל את טענת האדם בסיכוי של 1% ואם במציאות הסיכוי לזכות במכונה הוא 0.3 נקבל את מפעיל הקזינו בסיכוי של 8%..

106 106 פתרונות: שאלה 1: 891 שאלה : 4

107 107 רקע: מובהקות התוצאה דרך נוספת להגיע להכרעות שלא דרך כלל הכרעה, היא דרך חישוב מובהקות התוצאה:. p v באמצעות תוצאות המדגם מחשבים את מובהקות התוצאה שמסומן ב- את רמת המובהקות החוקר קובע מראש לעומת זאת,את מובהקות התוצאה החוקר יוכל לחשב H 0 pv α רק אחרי שיהיו לו את התוצאות. המסקנה של המחקר תקבע לפי העיקרון הבא: אם דוחים את p v = מובהקות התוצאה זה הסיכוי לקבלת תוצאות המדגם וקיצוני מתוצאות אלה בהנחת השערת האפס. P H 0 (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני) אם ההשערה היא דו צדדית : (לקבל את תוצאות המדגם וקיצוני) p = P v H 0 מובהקות התוצאה היא גם האלפא המינימלית לדחיית השערת האפס. H : p= p 0 0 H : p> p 1 0 P ( Pˆ pˆ ) H0 H : p= p 0 0 H : p< p 1 0 P ( Pˆ pˆ ) H0 H 0 1 : p= p H : p p p 5& (1 p ) 5 P ( Pˆ pˆ ) pˆ > p H0 0 P ( Pˆ pˆ ) pˆ < p H0 0 השערת האפס : השערה אלטרנטיבית: תנאים: אם אם p-value p (1 p ) ˆ 0 0 ~ N( p0, ) P כאשרבהנחתהשערתהאפס : והתקנון: pˆ p0 Z p ˆ = p0 0 ( 1 p )

108 108 דוגמה: (פתרון בהקלטה) ישנה טענה שיש הבדל בין אחוז הבנים ואחוז הבנות הפונים ללמוד להנדסאי מחשבים. לשם כך נלקח מדגם מקרי של 00 תלמידים הלומדים מחשבים והתברר כי 11 מהם בנים. א. מהי מובהקות התוצאה? ב. מה המסקנה ברמת מובהקות של 5%?

109 109 תרגילים: במשך שנים אחוז המועמדים שהתקבל לפקולטה מסוימת היה 5%. השנה מתוך מדגם 10 מועמדים התקבלו. רוצים לבדוק האם השנה הקשו על תנאי הקבלה. א. מהי מובהקות התוצאה? ב. מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של 1% וברמת מובהקות של 5%? של.1 נהוג לחשוב ש 60% מהילדים בגיל שלוש קמים מהמיטה במהלך הלילה לפחות פעם אחת. ישנה טענה שללא שנת צהריים פחות מ 60% מהילדים בגיל זה יקומו לפחות פעם אחת במהלך הלילה. נדגמו 80 ילדים בגיל 3 אשר אינם ישנים בצהריים מתוכם התקבל ש 41 קמו במהלך הלילה. א. מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה תתקבל הטענה במחקר? ב. מהי רמת המובהקות המקסימלית עבורה לא תתקבל טענת המחקר? ג. עבור אילו רמות מובהקות נקבל את טענת המחקר? ד. מה תהיה מסקנת המחקר ברמת מובהקות של 6%?. במטרה לבדוק האם מטבע הוא הוגן מטילים אותו 80 פעמים. התקבל ש 60 מההטלות הראו עץ. רשמו את השערות המחקר, חשבו את מובהקות התוצאה והסיקו מסקנה ברמת מובהקות של 5%..3 בבדיקת השערות על פרופורציה התקבל שה-. p-value=0.0 מה תהיה מסקנת חוקר המשתמש ברמת מובהקות 5%: ) בחר בתשובה הנכונה) א. יקבל את השערת האפס ב. ידחה את השערת האפס. ג. לא ניתן לדעת כי אין מספיק נתונים..4 קבע אם הטענה הבאה נכונה: "במבחן לבדיקת השערות חד-צדדי התקבל ערך p-value של 3% לכן אם היינו מבצעים מבחן דו-צדדי (כאשר יתר הנתונים ללא שינוי) היינו מקבלים ערך p-value של 6%".5 6. במפעל 10% מהעובדים נפגעים לפחות פעם אחת בשנה מתאונות עבודה. לאור זאת, המפעל החליט לצאת בתוכנית לצמצום שיעור הנפגעים. תכנית זו נוסתה על 100 עובדים. מתוכם 1 נפגעו בתאונות עבודה במשך השנה. מהי רמת המובהקות הקטנה ביותר עבורה יוחלט שהתכנית יעילה?

110 110 פתרונות : שאלה 1: א שאלה : א ב ג. מעל ד. נכריע לטובת טענת המחקר. שאלה 3: p = 0 v שאלה 4: התשובה הנכונה: ב שאלה 5: הטענה נכונה שאלה 6:

111 111 פרק 1 -בדיקתהשערות עלהפרשתוחלות במדגמים בלתיתלויים H H µ µ = c 0 1 µ µ > c 1 1 H H רקע: השערתהאפס : השערה אלטרנטיבית: כשהשונויות של האוכלוסייה ידועות µ µ = c µ µ < c H H µ µ = c 0 1 µ µ c מדגמים בלתי תלויים σ 1, σ 3 ידועות. תנאים: X, X N 1. או מדגמים מספיק גדולים Z x > 1 x Z 1 α Z x < 1 x Z 1 α Z x 1 x α 1 > Z Z < Z x 1 x α 1 כלל ההכרעה: או : H 0 אזור הדחייה של H 0 Z1 α - דוחים את Z1 α H 0 - דוחים את Z α α 1 1 H 0 Z - דוחים את סטטיסטי המבחן : x1 x c Z x1 x = σ σ חלופה אחרת לכלל הכרעה: 1 σ σ x1 x > c+ Z1 α σ σ x1 x < c Z1 α σ σ x1 x > c+ Z1 α / + 1 נדחה H 0 אםמתקיים: או 1 σ σ x1 x < c Z1 α / + 1 התפלגותהפרש הממוצעים : 1 σ σ x1 x ~ N( µ 1 µ, + ) 1 התקנון : Z x1 x x1 x ( µ 1 µ ) = σ1 σ + 1 כתבופתר-ברק קנדל

112 11 דוגמה : (פתרון בהקלטה) בשנת 004 הפער בין השכר הממוצע של הגברים לנשים היה 3000 לטובת הגברים. מעוניינים לבדוק האם כיום הצטמצם הפער בין הגברים לנשים מבחינת השכר הממוצע. נדגמו 100 עובדים גברים. שכרם הממוצע היה. 9,07 נדגמו 80 עובדות, שכרן הממוצע היה לצורך פתרון נניח שסטיות התקן של השכר ידועות ושוות ל- 000 באוכלוסיית הנשים ו באוכלוסיית הגברים. מה המסקנה ברמת מבוהקות של 5%?

113 113 תרגילים : מחקר טוען שאנשים החיים במרכז הארץ צופים בממוצע בטלוויזיה יותר מאנשים שלא חיים במרכז. נדגמו 100 אנשים מהמרכז ו- 107 אנשים לא מהמרכז. אנשים אלו נשאלו כמה שעות ביום הם נוהגים לצפות בטלוויזיה. במדגם של מרכז הארץ התקבל ממוצע.7 שעות. במדגם של מחוץ למרכז הארץ התקבל ממוצע 1.8 שעות. לצורך פתרון הניחו שבכל אזור, סטיית התקן היא שעה 1 ביום. בדקו את טענת המחקר ברמת מובהקות של 1%..1 ציוני פסיכומטרי מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 100. מכון ללימוד פסיכומטרי טוען שהוא יכול לשפר את ממוצע הציונים ביותר מ- 30 נקודות. במדגם של 0 נבחנים שניגשו למבחן ללא הכנה במכון התקבל ממוצע 508. במדגם של 5 נבחנים שעברו הכנה במכון התקבל ממוצע ציונים 561. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%.. במדגם אקראי של 0 ימים נבדקה התפוקה של מפעל ביום. התפוקה הממוצעת הייתה של 340 מוצרים ליום. במדגם אקראי של 0 ימים אחרים נבדקה התפוקה של המפעל בלילה והתפוקה הממוצעת הייתה 95. לצורך פתרון נניח שסטיית התקן של התפוקה ביום היא 40 מוצרים ובלילה 30 מוצרים. א. מהי מובהקות התוצאה לבדיקה האם התפוקה הממוצעת היומית גבוהה מהתפוקה הממוצעת הלילית. ב. מה תהיה המסקנה ברמת מובהקות של 8%?.3 במחקר מקיף שנעשה באירופה נקבע שגברים גבוהים מנשים ב- 8 ס"מ בממוצע. מחקר ישראלי מתעניין לבדוק האם בישראל הפער גדול יותר. לצורך המחקר נדגמו 40 גברים ו 40 נשים באקראי. כמו כן, נניח שסטיות התקן של הגברים והנשים ידועות ושוות ל- 6 ס"מ אצל הנשים. ו- 1 ס"מ אצל הגברים. א. מהן השערות המחקר ומהו כלל ההכרעה ברמת מובהקות של 10%? ב. אם בישראל הפער בין גברים לנשים מבחינת הגובה הממוצע הוא 11 ס"מ, מה ההסתברות שהמחקר לא יגלה זאת? איך קוראים להסתברות הזאת?.4

114 114 פתרונות: שאלה 1: H 0 נדחה שאלה : לא נדחה את H 0 שאלה 3: א. 0 H 0 ב. נדחה H 0 אם במדגם הגברים יהיו גבוהים בממוצע מהנשים ביותר מ ס"מ. שאלה 4: א. נדחה ב

115 115 H H µ µ = c 0 1 µ µ > c 1 1 רקע: השערתהאפס : השערה אלטרנטיבית: כששונויות האוכלוסיה לא ידועות ומניחים שהן שוות H H µ µ = c 0 1 µ µ < c 1 1 H H µ µ = c 0 1 µ µ c 1 1 מדגמים בלתי תלויים 4. σלא 1 ידועות אך שוות, σ.5 המשתנים בכל אוכלוסייה 6. מתפלגים נורמלית תנאים: t x x > 1 t ( 1+ 1 α ) t x x 1 < t ( 1+ ) 1 α t x x 1 < t ( 1+ ) α 1 : H 0 אזור הדחייה של או t x x > 1 t ( 1+ α 1 ) t α 1, דוחים את H 0 t α 1, 1 + H 0 - דוחים את t α 1, 1+ 1, 1+ H 0 t α - דוחים את סטטיסטי המבחן : S ( 1) + ( 1) S S 1 1 p = 1+ t השונות המשוקללת : x1 x = ( ) x x c 1 S S + p p 1 חלופה אחרת לכלל הכרעה: p p ( 1+ ) S S x1 x > c+ t1 α + 1 p p S S ( 1+ ) x1 x < c t1 α + 1 ( 1+ ) α 1 p p S S x1 x > c+ t + 1 נדחה H 0 אם מתקיים: או ( 1+ ) α 1 p p S S x1 x < c t + 1 כתבופתר-ברק קנדל

116 116 דוגמה : (פתרון בהקלטה) חברה המייצרת מוצרי בנייה טוענת שפיתחה סגסוגת (תערובת מתכות) שטמפרטורת ההתכה שלה גבוהה משמעותית מטמפרטורת ההתכה של הסגסוגת לבנייה שמשתמשים בה כיום לבניית בניינים. לצורך בדיקת טענת המחקר נדגמו מהסוג החדש. להלן תוצאות המדגם: 10 יחידות של מתכות מהסוג הישן ו- 1 יחידות של מתכות טמפרטורת ההתכה הממוצעת במתכת הישנה 1170 מעלות עם אומד חסר הטיה לשונות. S = 00 טמפרטורת ההתכה הממוצעת במתכת החדשה 1317 מעלות עם אומד חסר הטיה לשונות. S = 60 נניח לצורך פתרון שטמפרטורת ההתכה מתפלגת נורמאלית עם אותה שונות במתכות השונות. בדקו ברמת מובהקות של 5%.

117 117 תרגילים: 1. להלן נתונים של שטחי דירות מתוך דירות שנבנו בשנת 01 ובשנת 013 (מטרים רבועים): בדקו שבשנת 013 הייתה ירידה משמעותית בשטחי הדירות לעומת שנת 01 עבור רמת מובהקות של 5%.הניחו ששטחי הדירות בכל שנה מתפלגים נורמלית עם אותה שונות. נדגמו 15 ישראלים ו- 15 אמריקאים. כל הנדגמים נגשו למבחן.IQ להלן תוצאות המדגם:. המדינה גודל המדגם סכום הציונים סכום ריבועי הציונים ישראל ,390 ארה"ב ,560 בדקו ברמת מובהקות של 5% האם קיים הבדל של נקודה בין ישראלים לאמריקאים מבחינת ממוצע הציונים במבחן ה- IQ לטובת ישראל. רשמו את כל ההנחות הדרושות לצורך פתרון התרגיל. להלן תוצאות מדגם הבדק אורך חיים של נורות מסוג W60 ומסוג W100. אורך החיים נמדד בשעות W W הקבוצה x S א. בדקו ברמת מובהקות של 5% האם נורות מסוג W60 דולקות בממוצע יותר מאשר נורות מסוג W100. רשמו את כל ההנחות הדרושות לפתרון. ב. עבור איזו רמת מובהקות ניתן לקבוע שנורות מסוג Wדולקות 60 בממוצע יותר מאשר נורות מסוג W? 100 ג. בדקו ברמת מובהקות של 5% האם נורות מסוג W 60 דולקות יותר מ 1000 שעות. רשמו את כל ההנחות הדרושות. פתרונות :

118 118 H 0 שאלה 1: לא נדחה שאלה : שאלה 3: א. נדחה H 0 ב. רמות מובהקות של לפחות 5% ג. לא נדחה H 0

119 119 ניתוח פלטים רקע : מובהקות התוצאה על סמך הפלט: האם בהשערת האפס הפרש התוחלות הוא 0? לא כן חישוב ידני האם ההשערה דו צדדית? כן לא האם הסימן של t בפלט תואם את כיוון ההשערה? PV = sig לא כן sig P V = 1 sig P V =

120 10 דוגמה: (פתרון בהקלטה) בסקר שנערך בארה"ב בשנת 1993 נשאלו נסקרים משני אזורים שונים במדינה על מס' האחים והאחיות שלהם. להלן הפלט שהתקבל: Group Statistics Number of Brothers ad Sisters Regio of the Uited States North East South East Std. Error N Mea Std. Deviatio Mea Number of Brothers ad Sisters Equal variaces assumed Equal variaces ot assumed Levee's Test for Equality of Variaces F Sig. Idepedet Samples Test t df Sig. (-tailed) t-test for Equality of Meas Mea Differece 95% Cofidece Iterval of the Std. Error Differece Differece Lower Upper ב. ג. א. מהו המבחן הסטטיסטי שנעשה כאן? בדוק ברמת מובהקות של 5% האם קיים שוויון שונויות בין שני האזורים? בדוק האם קיים הבדל בין East"- "South ל-" East "North ברמת מובהקות של 5% מבחינת מספר האחים והאחיות הממוצע. ד. מהי מובהקות התוצאה לבדיקת הטענה שההפרש הממוצע בין-" East "South לבין-" East "North חיובי?

121 11 תרגילים : להלן פלט מתוכנת SPSS מתוך מחקר שבחן את רמת האופטימיות של גברים ונשים. רמת האופטימיות נמדדה בסקאלת ציונים של 1 עד 5..1 optimizm GENDER MALE FEMALE Group Statistics Std. Error N Mea Std. Deviatio Mea optimizmequal variace assumed Equal variace ot assumed Levee's Test for Equality of Variaces F Sig. Idepedet Samples Test t-test for Equality of Meas Mea Std. Error 95% Cofidece Iterval of the Differece t df Sig. (-tailed) Differece Differece Lower Upper ? א. האם ניתן להניח ששונות האופטימיות של נשים וגברים שווה ברמת מובהקות של 5%? ב. ברמת מובהקות של 5% האם קיים הבדל בין הנשים לגברים ברמת האופטימיות הממוצעת שלהם? ג. מצא את הגבול העליון של רווח הסמך המסומן בסימן שאלה בפלט. דייק עד 5 ספרות אחרי הנקודה. ד. בנה רווח סמך לתוחלת רמת האופטימיות של הגברים ברמת סמך של 95%.

122 1 פסיכולוגים טוענים שאנשים שניגשים למבחן אינטליגנציה יותר מפעם אחת נוטים לקבל ציונים גבוהים יותר. להלן הפלט שהתקבל: T-Test Group Statistics. N Mea Std. Deviatio Std. Error Mea grade A B Idepedet Samples Test Levee's Test for Equality of Variaces F Sig. t df Sig. (-tailed) Mea Differece Std. Error Differece t-test for Equality of Meas 95% Cofidece Iterval of the Differece Lower Upper grade Equal variaces assumed Equal variaces ot assumed מקרא: A= נגשו פעם אחת. B =נגשו יותר מפעם אחת. א. רשמו את השערות המחקר והסבירו מהו המבחן המתאים כאן. ב. כיצד הייתה משתנה התשובה לסעיף הקודם אם היה מדובר על אותם אנשים שציונם נבדק פעם אחרי המבחן הראשון שעשו ופעם אחרי המבחן השני? ג. האם ניתן לומר כי מידת הפיזור של ציוני אנשים הנבחנים בפעם הראשונה שונה ממידת הפיזור של ציוני האנשים אשר נבחנים בפעם השנייה. בדוק ברמת מובהקות של 0.05=α. ד. האם נכונה טענת הפסיכולוגים ברמת מובהקות של 0.01=α כחלק ממחקר בנושא הנישואין בישראל, אחד החוקרים העלה השערה שיש הבדל בממוצע גיל הנישואין (הראשונים), בין נשים הגרות בערים מרכזיות לבין נשים הגרות בערים מרוחקות מהמרכז. לשם כך נדגמו 50 כלות מכל אחת משתי ערים עיר א'-מרכזית ועיר ב'-מרוחקת ונרשם גילן. תוצאות עיבוד הנתונים מופיעות בטבלאות שלהלן:.3

123 13 T-Test מקום המגורים גיל הנישואין ' Group Statistics N Mea Std. Deviatio Std. Error Mea עיר א עיר ב Idepedet Samples Test Levee's Test for Equality of Variaces F Sig. t df t-test for Equality of Meas Sig. (- tailed) Mea Differece Std. Error Differece 95% Cofidece Iterval of the Differece Lower Upper Equal variaces גיל הנישואין ' assumed Equal variaces ot assumed א. מהו המבחן הסטטיסטי שנעשה כאן? ב. מצא רווח סמך ברמת סמך של 95% להפרש בין עיר א לעיר ב מבחינת גיל הנשים הממוצע בנישואין הראשונים. ג. האם ניתן לומר ברמת מובהקות של 1% שנשים בערים מרכזיות מתחתנות בגיל מאוחר יותר מאשר נשים הגרות בערים מרוחקות?

124 14 T-Test 4. להלן פלט של תוכנת :SPSS N Mea Std. Deviatio Std. Error Mea X Y Idepedet Samples Test Levee's Test for Equality of Variaces t-test for Equality of Meas 95% Cofidece Iterval Sig. (- Mea Std. Error of the Differece F Sig. t df ailed) Differece Differece Lower Upper Equal variaces assumed Equal variaces ot assumed ??? ??? ??? א. השלם את סימני השאלה בטבלה. ב. מהי מובהקות התוצאה לבדיקת הטענה שקיים הבדל בין השונות של X לזה של Y? ג. מהי מובהקות התוצאה לבדיקת הטענה שהתוחלת של X גדולה מהתוחלת של Y? ד. מהי מובהקות התוצאה לבדיקת הטענה שהתוחלת של X קטנה מהתוחלת של Y?

125 15 שאלה 1: א. נכריע שוויון שוניות. פתרונות: ב. נקבע שלא קיים הבדל בין נשים לגברים מבחינת האופטימיות הממוצעת. ג ד µ.6441 שאלה : א. מבחן t למדגמים בלתי תלויים. ב. מבחן t למדגמים מזווגים. ג. נקבע שקיים שוויון שוניות. ד. לא נקבל את טענת הפסיכולוגים. שאלה 3: ב. א. מבחן t להשוואת תוחלת במדגמים בלתי תלויים. ג. כן µ µ שאלה 4: א ,4.69,48 ב ג ד. 0.0

126 16 פרק 13 רקע: -בדיקת השערות על תוחלת ההפרשים במדגמים מזווגים (תלויים) בדיקת השערות למדגמים מזווגים H H 0 1 : : µ = C D µ > C D H H 0 1 : : µ = C D µ < C D H H 0 1 : : µ = C D µ C D השערתהאפס : השערה אלטרנטיבית: σ D תנאים: 7. אינה ידועה D או מדגם מספיק גדול N.8 td > ( 1) t1 α td < ( 1) t1 α td < ( 1) t α 1 td > ( 1) t α 1 כלל ההכרעה: או : H 0 אזור הדחייה של t1 α, 1 t1 α, 1 t α α 1, 1 1, 1 t - דוחים את H 0 H 0 - דוחים את H 0 - דוחים את D> C+ t 1 1 α SD D< C t 1 1 α SD SD D> C+ t 1 α 1 חלופה לכלל הכרעה : אם מתקיים: נדחה H 0 או SD D< C t 1 α 1 סטטיסטי המבחן : t D D µ D = SD S = ( ) D D D i i D = 1 1 i= 1 i= 1 D כתבופתר-ברק קנדל

127 17 דוגמה: (פתרון בהקלטה) חברה שיווקית מעוניינת לבדוק את טענת רשת השיווק "מגה בעיר" הטוענת שמחיריה נמוכים מהמחירים מרשת השיווק "שופרסל". לצורך בדיקה נבחרו באקראי 4 מוצרים שונים. המחירים נבדקו בשתי הרשתות. להלן המחירים: המוצר שמפו ג'ל כביסה עוגת גבינה לחם קפה נמס בקבוק יין גבינה בולגרית מגה בעיר 17 שופרסל בהנחה והמחירים מתפלגים נורמאלית בדקו ברמת מובהקות של 5% את טענת רשת "מגה בעיר".

128 18 תרגילים: מבחינת המחירים לשיחות בינ"ל. X לחברת Y במטרה לבדוק האם קיים הבדל בין חברת נגדמו באקראי 7 מדינות ועבור כל מדינה נבדקה עלות דקת שיחה. להלן התוצאות: Y X המדינה ארה"ב.1 קנדה 1.9. הולנד פולין מצרים סין יפן.1 בהנחה והמחירים מתפלגים נורמלית בכל חברה, בדקו ברמת מובהקות של 5% קיים הבדל בין החברות מבחינת המחירים בממוצע? האם מכון המכין לפסיכומטרי טוען שהוא מעלה את ממוצע הציונים ביותר מ- 30 נקודות. 8 נבחנים נבדקו לפני ואחרי שהם למדו במכון. להלן התוצאות שהתקבלו: לפני אחרי מה מסקנתכם ברמת מובהקות 5%? הניחו שציוני פסיכומטרי מתפלג נורמלית.

129 19 נדגמו 5 סטודנטים שסיימו את הקורס סטטיסטיקה ב'. להלן הציונים שלהם בסמסטר א' ו- ב': סטטיסטיקה ב סטטיסטיקה א פורסם שתלמידים שמסיימים את סמסטר ב משפרים בממוצע את הציונים ב- 5 נקודות לעומת סמסטר א'. הנח שהציונים מתפלגים נורמלית. א. מהי מובהקות התוצאה לבדיקת הטענה שהשיפור הוא יותר מ 5 נקודות? ב. על סמך הסעיף הקודם, מהי רמת המובהקות המינימלית להכרעה שהשיפור הוא יותר מ- 5 נקודות? ג. לאור זאת, מה המסקנה ברמת מובהקות של? 10% לצורך בדיקת השפעת היפנוזה על לימוד אנגלית, נבחרו 10 זוגות תאומים זהים. אחד התאומים למד אנגלית בהשפעת היפנוזה, והשני ללא היפנוזה. לאחר מכן נערך לשניהם מבחן באנגלית. נניח שציוני המבחן מתפלגים נורמאלית ללא ידיעת השונות האמתית. המבחן שיש לבצע כאן הוא: א. מבחן Z למדגם יחיד. ב. מבחן T למדגם יחיד. ג. מבחן T למדגמים בלתי תלויים. ד. מבחן T למדגמים מזווגים..4

130 130 בתחנת טיפת חלב מסוימת יש שני מכשירי שקילה. על מנת להשוות בין שני המשקלים נדגמו 4 תינוקות. כל תינוק בן חודשיים נשקל בכל אחד מהמשקלים. להלן תוצאות השקילה (בק"ג): משקל במכשיר משקל במכשיר נניח שהמשקלים מתפלגים נורמלית. המבחן שיש לבצע כאן הוא: א. מבחן Z למדגם יחיד. ב. מבחן T למדגם יחיד. ג. מבחן T למדגמים בלתי תלויים. ד. מבחן T למדגמים מזווגים. כדי להשוות בין שני אצים נדגמו 5 תוצאות מריצת 100 מטר של כל אצן. זמני הריצה נרשמו ויש להניח שמתפלגים נורמלית. המטרה להשוות בין האצנים. המבחן שיש לבצע כאן הוא: א. מבחן Z למדגם יחיד. ב. מבחן T למדגם יחיד. ג. מבחן T למדגמים בלתי תלויים. ד. מבחן T למדגמים מזווגים..6

131 131 פתרונות: שאלה 1: H 0 לא נדחה שאלה : H 0 לא נדחה שאלה 3: א. 0.1 pv 0.5 ב. 0.5 ג. לא נדחה H 0 שאלה 4: התשובה היא ד. שאלה 5: התשובה היא ד. שאלה 6: התשובה היא ג.

132 13 רקע: מדגמים מזווגים -ניתוחפלטים האם בהשערת האפס הפרש התוחלות הוא 0? לא כן חישוב ידני האם ההשערה דו צדדית? כן לא האם הסימן של tבפלט תואם את כיוון ההשערה? PV = sig לא כן sig P V = 1 sig P V =

133 133 דוגמה : (פתרון בהקלטה) כדי לבדוק את ההשפעה של קורס לגמילה מעישון נלקח מדגם מקרי של 5 נבדקים. עבור כל אחד מהם נמדדה צריכת הסיגריות היומית לפני הקורס וחודשיים אחריו. הניחו שצריכת הסיגריות מתפלגת נורמלית. להלן התוצאות: נבדק לפני אחרי בדוק ברמת מובהקות של 5% האם הקורס יעיל. כתבופתר-ברק קנדל

134 134 תרגילים : 1. בסקר שנערך בארה"ב בשנת 1993 נשאלו נסקרים על השכלת הוריהם, להלן הפלט שהתקבל: Pair 1 Highest Year School Completed, Father - Highest Year School Completed, Mother Mea Paired Samples Test Paired Differeces 95% Cofidece Iterval of the Std. Error Differece Std. Deviatio Mea Lower Upper t df Sig. (-tailed) א. ב. ג. תן אומדן להפרש הממוצעים. תן אומדן לטעות התקן של הפרש הממוצעים. האם קיים הבדל מובהק בין השכלת האבות להשכלת האימהות ברמת מובהקות של 5%? בתחרות קפיצה למים שופטים באופן קבוע שופט איטלקי ושופט דרום קוריאני. להלן פלט המנתח את הציונים ששופטים אלה נתנו בתחרויות השונות:. Pair 1 Italy South Korea Paired Samples Statistics Std. Error Mea N Std. Deviatio Mea??? ??? Pair 1 Italy - South Korea Paired Samples Test Paired Differeces 95% Cofidece Iterval of the Std. Error Differece Mea Std. Deviatio Mea Lower Upper t df Sig. (-tailed) ?????? א. ב. ג. ד. השלימו את החלקים החסרים בפלט. (מסומנים בסימני שאלה). בדוק את הטענה שהשופט הדרום קוריאני נותן בממוצע 0. נקודות יותר מאשר השופט האיטלקי ברמת מובהקות של 5%. מהו רווח הסמך ברמת סמך של 95% לתוחלת פער הציונים בין השופטים. בנה את הרווח כעת ברמת סמך של 98% לתוחלת פער בציונים בין השופטים.

135 135 בדקו את ציוניהם של 44 נבדקים אקראיים במבחן הפסיכומטרי. פעם אחת לפני הכנה.(After) ופעם אחת אחרי הכנה (Before).3 Pair 1 Before - After Paired Samples Test Paired Differeces 95% Cofidece Iterval of the Std. Error Differece Mea Std. Deviatio Mea Lower Upper t df Sig. (-tailed) א. ב. ג. ד. רשום מהו המבחן הסטטיסטי ונסח את ההשערות אליהם מתייחס הפלט. בדוק את ההשערה שממוצע ציונים משתפרים לאחר ההכנה ברמת מובהקות של 5%. בדוק את ההשערה שממוצע ציונים משתפרים לאחר ההכנה ביותר מ- 5 נקודות ברמת מובהקות של 5%. מצא רווח סמך לתוחלת שיפור ממוצע הציונים לאחר ההכנה ברמת ביטחון של 95%.

136 136 : 4. להלן פלט של תכנת SPSS T-Test Paired Samples Statistics Mea N Std. Deviatio Std. Error Mea Pair 1 x y Paired Samples Test Paired Differeces t df Sig. (-tailed) Mea Std. Std. Error 95% Cofidece Iterval of the Deviatio Mea Differece Lower Upper Pair 1 x - y ?? ?? א. ב. ג. ד. ה. ו. מלא את החלקים החסרים בטבלה. מהי רמת המובהקות המינימלית לקבלת הטענה שיש הבדל בין X ל- Y בממוצע? האם התשובה לסעיף הקודם הייתה משתנה, ואם כן גדלה או קטנה, אם הינו מוסיפים עוד תצפית שההפרש בין X ל- Y הוא.0 מהי מובהקות התוצאה לבדיקת הטענה ש מהי מובהקות התוצאה לבדיקת הטענה ש X גדול מ- X קטן מ- בנו רווח סמך לתוחלת של X ברמת סמך של. 90% Y בממוצע? Y בממוצע? פתרונות:

137 137 שאלה 1: א ב. 0.1 ג. אין הבדל מובהק שאלה : d. f = 99 = 300 X = Sig=0 א. H 0 ב. נדחה ( , ) (0.4708, ) ג. ד. H 0 H 0 שאלה 3: ב. נדחה ג. לא נדחה את ד. (1.59,13.317) שאלה 4: , א. ב. יגדל ג < µ < 58.8 ד. ה. ו.

138 138 פרק 14 -הקשר בין רווח סמך לבדיקת השערות על הפרש תוחלות רקע: ניתן לבצע בדיקת השערות דו צדדית ברמת מובהקות α על : µ µ 1 H : µ µ = C 0 1 H : µ µ C 1 1 על ידי בניית רווח סמך ברמת סמך של α 1 ל : µ µ 1 H 0 אם C נופל ברווח נקבל את אם C לא נופל ברווח נדחה את H 0 H H α : µ 80 0 D = : µ 80 1 D = 5% דוגמה: (פתרון בהקלטה) חוקר ביצע בדיקת השערות לתוחלת ההפרש במדגם מזווג. להלן השערותיו: החוקר בנה רווח סמך ברמה של 90% 78< µ D < 83 האם אפשר לדעת מה מסקנתו, ואם כן מהי?

139 139 תרגילים: נדגמו 5 סטודנטים שסיימו את הקורס סטטיסטיקה ב'. להלן ציוניהם בסמסטר א' ו- ב': סטטיסטיקה א סטטיסטיקה ב א. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לתוחלת פער הציונים בין סמסטר א לבין סמסטר ב. ב. פורסם שתלמידים שמסיימים את סמסטר ב משפרים בממוצע את הציונים ב- 5 נק' לעומת סמסטר א' האם יש אמת בפרסום? הוחלט להשוות הציונים אצל מרצה X ואצל מרצה Y. נבחרו באקראי 6 סטודנטים, 3 סטודנטים של מרצה X ו 3 סטודנטים של מרצה Y, עבורם התקבלו הציונים הבאים: מרצהX מרצהY א. חשבו רווח סמך ברמת סמך 90% להפרש בין התוחלות של הציונים אצל שני המרצים. ב. האם ברמת מובהקות של 10% נכריע שיש הבדל בין תוחלות הציונים אצל שני המרצים? שאלות אמריקאיות: סטטיסטיקאי נתבקש לאמוד את הפרש הממוצעים של שני טיפולים לפי שני מדגמים מקריים בלתי תלויים. א. ב. ג. ד. הוא חישב רווח סמך להפרש ברמת סמך 0.98, וקיבל את הרווח אילו יתבקש החוקר לבדוק לפי אותם נתונים את ההשערות:. < µ µ < = 0 µ, H : µ µ 0 ; H : µ ברמת מובהקות 0.05 מסקנתו תהיה: לדחות את השערת האפס. לא לדחות את השערת האפס. שלא ניתן לדעת את המסקנה עבור רמת מובהקות שלא נתונות בשאלה סטיות התקן של האוכלוסיות, ולכן לא ניתן להסיק דבר..3

140 במטרה לבדוק האם קיים הבדל בין קווי זהב לבזק מבחינת ממוצע המחירים לשיחות בינ"ל. נגדמו באקראי 7 מדינות ועבור כל מדינה נבדקה עלות דקת שיחה. בהנחה והמחירים מתפלים נורמלית בנו רווח סמך לממוצע ההפרשים וקיבלו : >0.093 µ D רווח הסמך הוא ברמת סמך של 95%. < לכן מסקנת המחקר היא : ב. ג. א. ברמת מובהקות של 5% לא נוכל לקבוע שקיים הבדל בין החברות. של D. ברמת מובהקות של 5% נקבע שקיים הבדל מובהק בין החברות. לא ניתן לדעת מה המסקנה ברמת מובהקות של 5% כיוון שלא נאמר מה ההגדרה

141 141 פתרונות: שאלה 1: µ 3.8 א. 19 D ב. נכריע שיש אמת בפרסום. שאלה : 8.5 µ µ א. 6.5 X Y ב. נכריע שאין הבדל. שאלה 3: התשובה היא ג. שאלה 4 התשובה היא א.

142 14 פרק 15 -בדיקת השערות-מבחנים פרמטרים בדיקת השערות על שתי שונויות. מעוניינים להשוות בין נשים וגברים מבחינת השונות בזמנים שלהם לבצע משימה מסוימת. במדגם של 10 גברים התקבלו התוצאות הבאות לגבי זמני ביצוע המשימה: ( y y) = 04 במדגם של 13 נשים התקבלו התוצאות הבאות: i ( x x) = 00 i בדקו ברמת מובהקות של % האם קיים הבדל בין השונויות? מה יש להניח?.1 ציוני בחינת הבגרות במתמטיקה מתפלגים נורמלית עם שונות 150. במדגם של מתל אביב התקבלה שונות חסרת הטיה- שונות חסרת הטיה א. ב במדגם של 16 נבחנים ירושלמים התקבלה 5 בדקו ברמת מובהקות של 5% האם שונות הציונים במתמטיקה בקרב נבחני תל אביב גבוהה מהשונות בכלל הארץ. בדקו ברמת מובהקות של 5% האם שונות ציונים במתמטיקה בקרב תלמידי תל אביב גבוהה מאשר בקרב תלמידי ירושלים..

143 143 H 0 פתרונות: שאלה 1 שאלה א. נקבל H 0 נקבל H 0 ב. נקבל

144 144 א. פרק 16 -מבחניחיבריבוע מבחן טיבהתאמה במטרה לבדוק האם קובייה הוגנת, מטילים אותה 10 פעמים. התקבל 17 פעמים 3 1, פעמים 0, פעמים 5 3, פעמים 18 4, פעמים 5 ו- 17 פעמים 6. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%?.1 מפעל מייצר סוכריות בצבעים כחול, אדום, ירוק וכתום. מעוניינים לבדוק שפרופורציית הסוכריות הכחולות גדולה פי מכל צבע אחר. לצורך כך נדגמו באקראי 00 סוכריות והתקבל: 70 כחולות, 50 אדומות, 40 ירוקות והיתר כתומות. מה מסקנתכם ברמת מובהקות של 5%?. משרד החינוך טוען שבקרב השכירים במשק היחס בין השכירים בעלי השכלה נמוכה, תיכונית ואקדמאית הוא 1::1 בהתאמה. במדגם של 00 שכירים התקבלו 56 אנשים בעלי השכלה נמוכה, 105 בעלי השכלה תיכונית והיתר בעלי השכלה גבוהה. ע"ס תוצאות המדגם האם התפלגות ההשכלה היא כמו שמשרד החינוך מפרסם? בדוק ברמת מובהקות של 5%..3 בפנס יש 4 סוללות. בבדיקה שנערכה ב- 400 הבאות: פנסים נמצאו סוללות פגומות לפי השכיחויות.4 מספר הסוללות הפגומות ומעלה 76 שכיחות מעוניינים לבדוק על סמך תוצאות מדגם אלה האם הסיכוי לסוללה פגומה הוא. 0% בדוק ברמת מובהקות של 5%.

145 145 מבחן אי תלות ב. במפעל עובד בשלוש משמרות.להלן מספר המוצרים הפגומים והתקינים בכל אחת מן המשמרות לפי מדגם שנעשה :.1 יום ערב לילה 50 פגומים תקינים האם קיים קשר בין טיב המוצר למשמרת שלו? הסיקו עבור רמת מובהקות = 0.05 α.. בקרב מדגם של 00 נשים 10 טענו שהן תצבענה למועמד R לראשות העיר. בקרב מדגם של גברים 80 טענו שהם יצביעו למועמד R האם קיים הבדל בין דפוס ההצבעה של הנשים ושל ברמת מובהקות של 5%. 00 הגברים? בדוק 3. בחנות בגדים A בדקו את התפלגות הצבעים של הבגדים הנמכרים ביום מסוים: צבע מספר הפריטים כחול אדום לבן שחור כמו כן בדקו את התפלגות הצבעים בחנות שכנה : B צבע מספר הכדורים כחול אדום לבן שחור א. ב. בדוק ברמת מובהקות של 5% האם התפלגות הצבעים בחנות A היא ביחס של 3:1:1:1 לטובת הכחול. בדוק ברמת מובהקות של.5% האם קיים הבדל בין החניות מבחינת התפלגות הצבעים של הפריטים הנמכרים.

146 146 תשובותסופיות -מבחני חי בריבוע פרקא'-מבחןטיבהתאמה שאלה שאלה 1 H 0 H 0 נקבל נקבל שאלה 3 שאלה 4 H 0 H 0 נקבל נדחה פרקב' מבחןלאי תלות שאלה 1 נקבל שאלה H 0 נדחה H 0 H 0 שאלה 3 נקבל א. H 0 נדחה ב.

147 147 פרק 17 - ניתוח שונותחדכיוונית רקע תיאורטי: ניתוח שונות (חד כיווני) הוא מבחן להשוואת תוחלות ) ולכן בניתוח שונות השערות המחקר הן: ( µ של k אוכלוסיות שונות. 1,...,µ k H µ =µ = = µ 0 : 1... k (התוחלות של כל האוכלוסיות שוות) H 1 : ההנחות הדרושות לביצוע התהליך הן: (לפחות שתיים מהתוחלות שונות) אחרת בכל אוכלוסייה מתוך k האוכלוסיות ההתפלגות נורמלית..1 כל האוכלוסיות הן עם אותה שונות. המדגמים בלתי תלויים זה בזה...3 ישנו משתנה המבדיל בין הקבוצות השונות, הוא המשתנה הבלתי תלוי הנקרא גורם (factor) משתנה זה הוא קטגוריאלי עם k רמות (levels). כדי לבצע את התהליך יש לבצע מדגם מכל אוכלוסייה: נסמן ב- את גודל המדגם בקבוצה i. - מספר התצפיות סך הכול (בכל המדגמים) k = 1 i - ממוצע המדגם הראשון,..., X k ממוצע המדגם ה- k -י. - X 1 - ממוצע כללי (של כל המדגמים). X SS B = k i= 1 i [ X X] i סכום ריבועים בין הקבוצות SS W k = [ i 1] Sˆ i i= 1 סכום ריבועים בתוך הקבוצות k j SS = [ X X ] T i= 1 j= 1 ij סכום ריבועים כללי :

148 148 SST = SSB + SSW יש למלא את טבלת ניתוח השונות הבאה: טבלת ניתוח שונות סכום הריבועים מקור השונות SS דרגות חופש df - 1 k B -בין SSB הקבוצות W -בתוך SSW - k הקבוצות - 1 T -סה"כ SST ממוצע הריבועים MS 1 F F = SS SS B W /( k 1) ~ F( k 1, k) /( k) F > F( k 1), k ): 1 α : H 0 איזור דחיית

149 149 תרגילים: מחקר מעוניין להשוות בין שלוש תרופות לשיכוך כאבים במטרה לבדוק האם קיים הבדל בין התרופות מבחינת הזמן בדקות שלוקח עד שהתרופה משפיעה. לצורך הבדיקה נלקחו 15 אנשים שסובלים מכאבי ראש.אנשים אלה חולקו באקראי לשלוש : קבוצה 1 קיבלה "אקמול" קבוצה קיבלה "אופטלגין" קבוצה 3 קיבלה "נורופן". כל אדם במחקר מסר את מספר הדקות עד שהתרופה השפיעה עליו. מהו המשתנה התלוי ומהו המשתנה הבלתי תלוי במחקר? מהו ה"גורם" וכמה רמות א. יש לו? מהו המבחן הסטטיסטי המתאים כאן? רשמו את ההשערות. ב. מה הן ההנחות הדרושות כדי לבצע את המבחן הסטטיסטי שהצעת בסעיף הקודם? ג..1 בעיר מסוימת שלושה בתי ספר תיכון. ראש העיר התעניין לבדוק האם קיים הבדל בהצלחה של בתי הספר במקצוע מתמטיקה. לצורך כך הוא דגם מספר תלמידים שנבחנו במבחן הבגרות במתמטיקה ברמה של 3 יחידות בעירו ובדק עבור כל תלמיד מה ציון הבגרות שלו במתמטיקה. להלן הציונים שהתקבלו: "המתמיד" "רבין" "הס" בית הספר א. ב. ג. ד. ה. ו. מהו המבחן הסטטיסטי המתאים? רשמו את ההשערות ואת ההנחות של המבחן. מהו גודל המדגם? מהו המשתנה הבלתי תלוי ) (FACTOR כמה רמות יש לו? חשבו את הממוצע ואת סטיית התקן של הציונים בכל אחד מהמדגמים. מלאו את טבלת.ANOVA רשמו את כלל ההכרעה למבחן שהוצע בסעיף א ברמת מובהקות של 5%. האם קיים הבדל בין בתי הספר בעיר מבחינת רמת הצלחת התלמידים במקצוע המתמטיקה? ענה על סמך הסעיפים הקודמים.

150 150 מעוניינים לבדוק האם יש הבדל בהשפעה של שיטות טפול שונות על לחץ הדם הסיסטולי (SBP) באוכלוסייה של קשישים. נבדקו 4 שיטות שונות. בטבלה המצורפת מרוכזים ממצאי המחקר..3 D C B השיטה A גודל המדגם הממוצע סטיית התקן א. ב. ג. רשמו את השערות המחקר וההנחות הדרושות כדי לבצע את המבחן המתאים. מה מסקנת המחקר ברמת מובהקות של 5%? האם יש צורך לבצע השוואות מרובות? שלושה אופים נתבקשו להכין עוגת שוקולד. לכל אופה בדקו את משך זמן ההכנה בדקות. כל אופה נדרש לאפות בכל יום 4 עוגות. האופה ניר מוזס שלום סכום הזמנים סכום ריבועי הזמנים.4 האם קיים הבדל בין האופים מבחינת תוחלת זמני ההכנה של העוגות? בדקו ברמת מובהקות של 5%.

151 151 להלן טבלת ניתוח שונות חד כיוונית. במחקר בחנו 4 סוגי סוללות. רצו לבדוק האם לסוג הסוללה השפעה על תוחלת אורך החיים שלה. הפעילו את כל הסוללות על אותו מכשיר ובדקו את אורך החיים של כל סוללה בשעות..5 ANOVA Sum of Squares df Mea Square F Sig. Betwee Groups Withi Groups Total מה המסקנה ברמת מובהקות של 10%? רשמו את ההשערות וההנחות הדרושות.

152 15 להלן טבלת ומסומנים באותיות. ANOVA בטבלה הושמטו חלקים. השלם את החלקים בטבלה שהושמטו.6 ANOVA Sum of Squares df Mea Square F Sig. Betwee ב ג ה 000. Groups Withi א 17 ד Groups Total

153 חברת תרופות לקחה 15 אנשים ברמת בריאות דומה. החברה חילקה את האנשים ל שלוש קבוצות שוות בגודלן. לכל קבוצה ניתנה אותה תרופה במינון שונה ) (dosage. המינונים שניתנו הם: 10 מ"ג, 0 מ"ג ו- 30 מ"ג. לאחר שעה מזמן לקיחת התרופה ניבדק קצב פעימות הלב של כל אדם.(pulse) הנתונים הוזנו לתוכנה סטטיסטית והתקבלו התוצאות הבאות: pulse Sum of Squares ANOVA df Mea Square F Sig. Betwee Groups Withi Groups Total Post Hoc Tests

154 154 Homogeeous Subsets א. ב. ג. ד. בדוק ברמת מובהקות של 5% האם קיים הבדל בין המינונים השונים מבחינת תוחלת הדופק של האנשים? רשמו את ההשערות וההנחות הדרושות לצורך פתרון. הסבירו ללא חישוב כיצד הייתה משתנה התשובה לסעיף הקודם אם הינו מעלים את הדופק של כל התצפיות במחקר ב-. האם יש צורך במחקר בהשוואת מרובות. נמק! לטבלת ה ANOVA צורפו טבלאות של השוואות מרובות בשיטה הנקראת "טוקי". ברמת בטחון של 95% מה הם הממצאים לפי שיטה זו?

155 155 בעיר מסוימת רצו לבדוק האם קיים הבדל ברמה של התלמידים בין בתי הספר השונים בעיר. ביצעו מדגם מכל בית ספר ונתנו מבחן זהה לכל הנדגמים. לאחר מכן ריכזו את הנתונים בתוכנה סטטיסטית והפעילו ניתוח שונות. מצורפים הפלטים שהתקבלו. ענו על הסעיפים הבאים: א. כמה בתי ספר יש בעיר? ב. כמה תלמידים השתתפו בסך הכול במחקר? ג. האם קיים הבדל בין בתי הספר בעיר מבחינה רמת הציונים? בדקו ברמת מובהקות של 1% ד. בביטחון של 95% אילו בתי ספר שונים זה מזה ברמת התלמידים? נמקו והסבירו..8 Oeway ANOVA grade Sum of Squares df Mea Square F Sig. Betwee Groups Withi Groups Total Post Hoc Tests

156 dimesio dimesio3 dimesio3 dimesio3 dimesio3 dimesio3 156 Multiple Comparisos grade Scheffe (I) school (J) school 95% Cofidece Iterval Mea Differece (I-J) Std. Error Sig. Lower Boud Upper Boud * * * * * * * * * * * * *. The mea differece is sigificat at the 0.05 level.

157 d i m e s i o Homogeeous Subsets Scheffe a grade school Subset for alpha = 0.05 N Sig Meas for groups i homogeeous subsets are displayed. a. Uses Harmoic Mea Sample Size =

158 158 פתרונות סופיים חלקיים - ניתוחשונות חד כיוונית. אם חישבת נכון ה F הסטטיסטי יוצא : נדחה את השערת האפס. 4.להלן טבלת הניתוח השונות המתקבלת: Sum of Mea Squares df Square F Betwee Groups Withi Groups Total נקבל את השערת האפס ה ד. ג ב. 6.א א. נדחה את השערת האפס. ב. לא משתנה. ג. כן 5 ג. כן ב. 8.א. 5

159 159 פרק 18 -מדדיקשר -מדדהקשר הלינארי (פירסון) רקע: המטרה היא לבדוק האם קיים קשר (קורלציה, מתאם) של קו ישר בין שני משתנים כמותיים. מבחינת סולמות המדידה קשר בין סולמות רווחים ומנה. בדרך כלל, X הוא המשתנה המסביר (הבלתי תלוי) ו Y הוא המשתנה המוסבר (התלוי).למשל, נרצה להסביר כיצד השכלה של אדם הנמדדת בשנות לימוד X מסבירה את ההכנסה שלו Y. במקרה זה שנות ההשכלה זהו המשתנה המסביר ) או הבלתי תלוי ( ואנחנו מעוניינים לבדוק כיצד שינויים בשנות ההשכלה של אדם יכולים להסביר את השינויים שלו בהכנסה, ולכן רמת ההכנסה זהו המשתנה המוסבר התלוי במשתנה המסביר אותו. בשלב הראשון, נהוג לשרטט דיאגרמת פיזור. זו דיאגרמה שנותנת אינדיקציה ויזואלית על טיב הקשר בין שני המשתנים. למשל, בבניין של 5 דירות בדקו את הנתונים הבאים: X - מס' חדרים בדירה. Y- מס' נפשות הגרות בדירה. להלן התוצאות שהתקבלו: מס' דירה X Y נשרטט מנתונים הללו דיאגרמת פיזור :

160 160 נתבונן בכמה מקרים של דיאגרמות פיזור וננתח אותן :

161 161 בשלב השני, מחשבים את מקדם המתאם ) מדד הקשר ( שבודק עד כמה קיים קשר לינארי בין שני המשתנים. המדד ) ניקרא גם מדד הקשר של פירסון) מכמת את מה שניראה בשלב הראשון רק בעין. המדד בודק את כיוון הקשר ) חיובי או שלילי). ואת עוצמת הקשר ) חלש עד חזק). מקדם מתאם זה מקבל ערכים בין -1 ל.1 מקדם מתאם 1 -. y= bx+ a הנוסחה : או 1 אומר שקיים קשר לינארי מוחלט ומלא בין המשתנים שניתן לבטאו על ידי מתאם חיובי מלא ) מקדם מתאם 1) אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע b יהיה חיובי ואילו מתאם שלילי מלא אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע b שלילי ) מקדם מתאם 1-). מתאם חיובי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לעלות בערכו אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את X ל- Y באופן מוחלט ואילו מתאם שלילי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לרדת אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את X ל- Y באופן מוחלט. ככל שערך מקדם המתאם קרוב לאפס נאמר שעוצמת הקשר חלשה יותר וככל שמקדם המתאם רחוק מהאפס נאמר שעוצמת הקשר חזקה יותר. מקדם המתאם יסומן באות r. כתבופתר-ברק קנדל